巧作輔助線 找到突破口

陳學義

中圖分類號：G633.6???? 文獻標識碼：B??? 文章編號：1672-1578（2020）21-0165-01

通過證明三角形全等是解決有關證明角相等或線段相等的重要方法，也是初中數學中的重點考察內容，同時也是學生學習幾何證明的難點內容，尤其在需要作輔助線后才能找出全等三角形的問題更是學生學習的難點，本文通過“巧作輔助線，找到突破口”為題，為讀者歸納幾題先巧作輔助線，再通過證明三角形全等來解決線段相等的問題，僅供參考。

問題背景，請你證明以下兩個命題：

①如圖1，在正三角形ABC中，N為BC邊上任一點，CM為正三角形外角∠ACK的平分線，若∠ANM=60°，則AN=NM;

②如圖2，在正五邊形ABCDE中，N為BC邊上任一點，CM為正五邊形外角∠DCK的平分線，若∠ANM=108°，則AN=NM.

先證命題①，在線段AB上取一點E，使AE=NC，連接EN，如圖3，

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=BC，∴BE=BN

∴△BEN也是等邊三角形

∴∠BEN=∠ENB=60°，∠AEN=∠NEC=120°，

∠EAN+∠ANE=60°

又∵∠ANM=60°

∴∠ANE+∠CNM=60°

∴∠EAN=∠CNM

∵CM為正△ABC的外角∠ACK的平分線

∴∠NCM=120°

在△AEN和△NCM中

∵∠EAN=∠CNMAE=NC∠AEN=∠NCM

∴△AEN≌△NCM（ASA）

∴AN=NM.

再證命題②，在線段AB上取一點G，使AG=NC，連接GN，如圖4，

∵五邊形ABCDE是正五邊形

∴AB=BC，GB=BN，∠B=108°

∴∠BGN=∠GNB=36°，∠GNM=∠AGN=144°

∴∠GAN+∠ANG=36°

又∵∠ANM=108°

∴∠ANG+∠CNM=36°

∴∠GAN=∠CNM

∵CM為正五邊形形ABCDE的外角∠DCK的平分線

∴∠MCK=36°

∴∠NCM=144°

在△AGN和△NCM中

∵∠GAN=∠NCMAG=NC∠AGN=∠NCM

∴△AGN≌△NCM（ASA）

∴AN=NM.

在幾何證明中，作輔助線往往可以起到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感覺，本文所歸納的幾個例子就是很好的說明。