“利用導數求含參不等式恒成立問題中參數取值范圍”的重要方法

沈再琳

摘 要：隨著高考改革的不斷深入，各學科應根據考試大綱要求對教學方法進行相應的優化改進。對于數學學科而言，利用導數求含參不等式恒成立問題是近年來的熱門考點，該考點充分考查了函數求導、三角函數、不等式等知識點內容，知識內容涉及廣且靈活，使得學生在應付該類試題上往往難以下手。因此本文通過從分析該類問題的方法和思路入手，總結恒等式問題中求參數取值范圍方法，為高中數學教學的優化提供參考。

關鍵詞：導數;不等式恒成立;方法

前言

含參不等式恒成立中參數取值范圍問題一直是高中數學考試中的熱門考點，這類數學問題充分考查了學生對數學知識的理解和綜合運用，通常而言求解該類題目主要運用函數求導的基本方法。所有的不等式恒成立求參數取值范圍問題，采用新建函數并求導能夠達到一定的化簡作用，但所有的不等式求取值范圍問題并不是僅通過函數求導就能解答，而是需要學生具有“變式求解”的數學思維，基于函數求導進行深入的數學分析才能得出準確的數學結果。

一、分離參數法

分離參數法是求參數取值范圍的一種重要方法，是利用導數求含參不等式恒成立參數取值中的基本解題方法。分離參數法的重點在于將不等式中的參數分離出后能否從新式中求解最值、值域、單調性等，大多數學生無法熟練掌握分離參數法的原因，主要是由于將分離參數法與分離常數法混淆，在高中數學的不等式問題中僅通過常數是無法判斷參數的取值范圍。例1：設函數f（x）=x3+2x 2+ax，x在[1，2]時f（x）不是單調函數，求解實數a的取值范圍.這是一道典型的利用分離參數法求解不等式恒成立參數取值范圍的問題，此題的分析過程應當是從函數f（x）觀察入手，函數為三次冪函數并且當x在[1，2]中不是單調函數因此在此區間內函數具有多個單調性，函數中含有三項其中一次項含有a和x兩個變量，所以說a的取值與函數的單調性有著一定的聯系，如果在求解過程中如果不對函數進行處理而采用帶入求解法則需要進行多次討論，此題的最優解法是通過對函數f（x）直接求導，得出f'（x）=3x 2+4x+a的二次函數，進而利用對稱軸公式求解出二次函數對稱軸，因為f'（x）開口朝上，所以在區間[1，2]上單調遞增，所以求得a的取值為（-16，-7）。

二、特值求解法

特值求解法在數學問題中運用的核心思想在于選擇正確的特定值，減少函數式中未知量個數或化簡函數式，而在含參不等式問題中特值求解法更多的是為了便于對參數取值范圍的討論。例2：已知函數f（x）=ax+sinx，x∈[0，π]，若f（x） 1+cosx求a的取值范圍。面對例題應首先分析已知量的構成，函數是由一次函數與三角函數組成，問題需求解不大于1+cosx時參數a的取值，由于sinx與cosx函數在題目要求區間內所反映的單調性不同并且f（x）是一次函數與三角函數的組合函數具有多重性質，因此在求解時可以通過構造新函數g（x）=1+sinx-cosx-ax，進行求導并化簡后得到g'（x）= sin（x+ π /4）-a，對于g'（x）而言函數的值域為[-1， ]，因為導數值正負關系反映原函數的單調性，所以得出a -1時g（x）單調遞增且a取-1時等號成立，而當 -1

三、放縮法

放縮法是在求解不等式成立問題中如遇到不等式兩邊數量關系無法比較時而采取尋找一個中間量進行比較的一種方法，中間量的尋找過程往往需要將原式放大或縮小，但處理后的結果可以更為準確地對不等量進行比較。放縮法應用在利用導數求解含參不等式恒成立中參數取值范圍的問題時對于高中學生而言往往具有一定的難度，問題的考查點并不是讓學生去尋找變式關系構造出中間變量，其重點應強調對函數的求導后變量取值范圍的分析，找到不等式兩邊趨同點進而構造出中間量。放縮法需要學生具備一定的數學核心素養，依靠全面的數學分析和準確的中間量構造來實現解體目的。不言而喻，放縮法凝聚了多種數學思維和方法是數學知識綜合應用的體現，學生對放縮法的掌握和應用，應從平時不斷的練習中進行總結歸納。

總結

綜上所述，利用導數求含參不等式恒成立問題中參數取值范圍的數學方法，主要包括分離參數法、特值求解法和放縮法三種，但并不是說所有不等式恒成立問題都應圍繞著這三種方法來思考求解。高中數學的學習更多的是講求融會貫通性，只有讓學生清晰掌握各知識內容間的聯系及數學方法的運用技巧，并通過學生的親身實踐動手求解后，才能促使學生對該類數學問題靈活作答。

參考文獻：

[1] 周鳳玲. “利用導數求含參不等式恒成立問題中參數取值范圍”的重要方法[J]. 中國科教創新導刊，2014（3）.

[2] 劉飛. 含參不等式恒成立問題中參數取值范圍的求解策略[J]. 理科考試研究，2016（1）.

[3] 繆樹模. 例談含參不等式恒成立問題的解題方法[J]. 語數外學習（數學教育），2012（10）.