圓錐曲線解答題的“破與立”

薛德印

摘要：著名數學家華羅庚先生說：“讀一本書要越讀越薄。”想必學習數學也是這樣的。對于圓錐曲線的知識量大，題型多，技巧多的特點，筆者從多年一線的教學實踐中，去繁從簡，總結歸納了一套易操作，實踐性強，得分率高的解題策略，希望能夠給學生學習圓錐曲線有一定的啟發和幫助。

關鍵詞：圓錐曲線;解答題;教學策略

一、分析原因

圓錐曲線是高中數學中的重要模塊，但是對高中生來講，圓錐曲線是一個難點，很多學生始終無法正確求解，特別是圓錐曲線的解答題，得分率很低。而對教師來講，圓錐曲線還是很好解的。之間的障礙在哪里呢？如何破與立，引起了筆者的深思。

圓錐曲線解答題的特點：1.知識面廣;2.題型多;3.運算量大

筆者認為學生得分低的原因是：

①沒有掌握好解析幾何的基礎知識

②沒有解題思路

③運算能力差

二、教學策略

針對（1）教學策略：復習解析幾何知識點，并記住一些常見的二級結論（比如雙曲線中焦點漸近線的距離為b等），讓學生盡量理解和記住這些公式。

針對（2）的教學策略：歸納一些常見解題思路，讓其先模仿。

解題思路歸納：

1.看到一個點，要寫點的坐標

2.看到一個點，和有關直線，要寫直線方程

3.看到直線與曲線相交與兩點，要聯立方程組，寫出韋達定理，判別式

4.看到其他要求，要優先想幾何關系，再想代數關系

針對（3）的教學策略：演繹運算，拋磚引玉。要突破，必須不怕運算。

教師板演幾次運算，展示如何優化運算，接著讓學生反復演練。

三、教學實踐

在實際解題過程中，最重要的是解題思路，下面本文就解題思路的教學策略進行詳細實踐舉例：

1.如何選擇合適的直線（或者點）

在解題過程中，設出合理的直線方程是重要的一環。萬事開頭難，如果能設出合適的直線方程，可以大大減少運算，達到事半功倍的效果。常見的設置直線方程情況如下：

（1）當過（0，b）或斜率顯然存在時，令直線方程為y=kx+b

（2）當過（a，0）或斜率可能會不存在時，令直線方程為x=my+a

（3）出現多條直線時，要選擇一條當主直線，用主直線中的變量去計算

（4）有時會設點的坐標為變量代入，解題

例1.（2017.4浙江學考）已知拋物線C：y2=2px過點A（1，1）

①求拋物線C的方程

②過點P（3，-1）的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的

點（均與點A不重合），設直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，

求證：k1k2為定值

解：①略 ②令M（x1，y1），N（x2，y2），MN：x= m（y+1）+3代入y2=x得y2-my-m-3=0

由韋達定理得：

k1k2==-2為定值

2.優先考慮幾何關系

在解題過程中，優先想有沒有幾何關系可以利用，因為有幾何關系的解答題運算量會小很多。

例2.（ 2019.1浙南名校）

已知直線與橢圓

恰有一個公共點P，L與圓x2+y2=a2相交于A，B兩點.

（I）求k與m的關系式;

（II）點與點關于坐標原點對稱。

若當時，的面積取到最大值a2，求橢圓的離心率.

解：

（I）由，得（a2k2+b2）x2 +2a2kmx+a2（m2-b2）=0，

則，化簡得m2 =a2k2+b2;

（Ⅱ）

法1：

令坐標，則Q令AB方程

O到AB的距離，，

∵P點坐標滿足，

∴Q到AB的距離

∴（當 時取等號）

∴

法2：

因點與點關于原點對稱，故=2

所以當時，取到最大值，此時，

從而原點到直線的距離，

又，故.

再由（I），得，則.

又，故，即，

從而，即.

四、教學效果反饋

在平時教學過程中，筆者嘗試用上面的解題策略引導學生思考，取得了一定的成效。比如學生所參加的溫州二模考試，也有多個同學第一小題取得滿分，該題的平均分接近市平均分。

（2019.2溫州二模） 如圖，A為橢圓的下頂點，過A的直線交拋物線于B，C兩點，C是AB的中點。

求證：點C的縱坐標是定值;

解：

方法1：，設，則

代入拋物線方程得：

得：

為定值

方法2：設AB方程：

令C坐標，B坐標

代入得：

則又

得

為定值

方法3：設AB方程：

令C坐標，B坐標

代入得：

則

因為C為AB中點，，化簡得

所以C縱坐標或-1（舍去），為定值。

結語

其實圓錐曲線并不可怕，只要你掌握一些套路，積累一定的解題經驗，歸納解題方法，多去算一算，圓錐曲線的問題就能夠迎刃而解了。

參考文獻

[1]2017年4月浙江省普通高中學業水平考試數學試題

[2]2018學年第一學期浙南名校聯盟期末考試（高三數學試題）

[3]2019年2月份溫州市普通高中高考適應性測試（數學試題）