兩角和與差的余弦

陳長(zhǎng)利

摘 要：理解兩角和與差余弦公式的推導(dǎo)過程，掌握兩角和與差的余弦公式并能解決簡(jiǎn)單的問題，理解向量解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具在實(shí)踐中探索知識(shí)，獲取知識(shí)的能力，通過對(duì)公式的推導(dǎo)與簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)知的過程，體驗(yàn)成功探索新知的樂趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：兩角和與差 余弦公式 推導(dǎo)與證明

一、教學(xué)方法

在教學(xué)時(shí)，我們要從特殊到一般引導(dǎo)學(xué)生了解公式的形成過程，我們還要用類比和對(duì)比的方法，找出公式間的區(qū)別與聯(lián)系，有利于學(xué)生的系統(tǒng)記憶和運(yùn)用。

二、教學(xué)過程

[復(fù)習(xí)引入]

1.向量數(shù)量積的概念 2.向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回答問題1、2，復(fù)習(xí)舊知識(shí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

[問題探究]

引例：如圖：已知P、Q為角45?，30?終邊上的點(diǎn)，OP=3，OQ=2，

問題1：求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)。

P（3cos45°，3sin45°）

Q（2cos30°，2sin30°）

設(shè)計(jì)意圖：通過特殊例子，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算可以得出：同一種運(yùn)算，結(jié)果一樣。并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩邊的6可以消去，為下面公式的推導(dǎo)做好鋪墊。

問題3：這個(gè)等式是否具有一般性？（讓學(xué)生自己寫出結(jié)論）如果把上式中的45?，30?分別換成任意角α ，β，則cos（α -β）=cosαcosβ+sinαsinβ是否成立？這需要證明，怎樣證明？

[公式推導(dǎo)]如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)X軸為始邊，作角α，β。在α，β終邊上分別取因?yàn)榈仁脚c向量的長(zhǎng)度無關(guān)，為了運(yùn)算的方便，我們引入單位圓。在教學(xué)中，為什么要引入單位圓，要和學(xué)生講清楚。（學(xué)習(xí)小組合作探究，老師引導(dǎo)，師生共同完成）

得出結(jié)論：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ公式記號(hào)Cα-β

設(shè)計(jì)意圖：在坐標(biāo)系中找到差角的幾何表示，引導(dǎo)學(xué)生試探采用向量方法去解決問題，同時(shí)也體會(huì)到向量的工具性作用，讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的思想方法。

[公式深化]

探究cos（α+β）的公式

分析：把公式Cα-β 中的β?lián)Q成-β，

cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

總結(jié)：

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

老師設(shè)問：（1）公式成立的條件？（2）公式有何結(jié)構(gòu)特征？如何記憶？

學(xué)生回答：（1）α，β ∈ R （2）公式的結(jié)特征：歸納為“余余正正符號(hào)反”

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)問題的討論，讓學(xué)生對(duì)公式對(duì)有一個(gè)清晰完整的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生探索的能力。對(duì)公式進(jìn)行深挖掘，顯示其“輻射”的作用，培養(yǎng)學(xué)生的分析、聯(lián)想能力，優(yōu)化思維品質(zhì)。

[公式應(yīng)用]

例1（1）求cos105?及cos15?的值

（2）cos20?cos25?-sin20?sin25?

（3）cos（α+β）cosβ-sin（α+β）sinβ

設(shè)計(jì)意圖：公式的正用，逆用。非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，可以求值或化簡(jiǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：此例題教師在黑板上形成板書，學(xué)生規(guī)范思考，規(guī)范步驟。

例3 證明：cos（π-α）=-cosα

設(shè)計(jì)意圖：找出兩角和與差的余弦與誘導(dǎo)公式的關(guān)系，公式的應(yīng)用——證明，并進(jìn)一步熟悉公式的特征，及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，為公式的靈活應(yīng)用作鋪墊。

[歸納小結(jié)]

知識(shí)：兩角和與差的余弦公式及其推導(dǎo)。

數(shù)學(xué)思想和方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸思想。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，使學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)有一個(gè)清晰完整地認(rèn)識(shí)，并點(diǎn)出問題解決的基本思路與方法，使學(xué)生養(yǎng)成歸納總結(jié)的習(xí)慣。

[作業(yè)布置]層次一? 練習(xí)A? 層次二? 練習(xí)B

設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)知識(shí)，養(yǎng)成及時(shí)復(fù)習(xí)的好習(xí)慣。

三、教學(xué)反思

1.在教學(xué)過程中，結(jié)果很重要，我們更要注重知識(shí)的形成過程，有老師或者學(xué)生經(jīng)常忽視這一點(diǎn)，只片面地追求一些結(jié)果和結(jié)論，而本教案著重體現(xiàn)了知識(shí)的形成過程。特別是在證明的時(shí)候，為什么要引入單位圓，本學(xué)案講得非常清楚。

2.在講例題時(shí)，教師要率先示范，學(xué)生規(guī)范思考，規(guī)范步驟。講完例題后及時(shí)總結(jié)反思，培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)梳理知識(shí)，總結(jié)反思的習(xí)慣。然后練習(xí)，及時(shí)鞏固學(xué)過得知識(shí)和方法。

3.本教學(xué)主要以學(xué)生為主體，讓學(xué)生更多地參與課堂教學(xué)，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和主動(dòng)性，通過小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生合作的精神。