積分上限函數的求導方法及其應用
——以一道考研試題的解法和拓展為例

陳亞

（安陽師范學院，河南安陽 455000）

每年的研究生入學數學考試中，積分上限函數是一個必考的知識點，積分上限函數難度系數不算很高，但學生在求解過程中的計算步驟較多，中間有任何一步計算錯誤就會得出錯誤結論，近幾年的考試題目在傳統題型的基礎上不斷加大難度，出現了跟課本上不一樣的類型，其目的還是考查學生對積分上限函數的概念是否理解，學生做題過程中經常死搬硬套課本上的求導方法，結果導致計算錯誤，本質上還是對積分上限函數理解不到位，下面以一道考研題目為例，對積分上限函數常見的題目類型進行分析，并給出通用的解題方法及思路。

2017年考研數學三第15 題是一道簡答題，題目如下：

1 題目分析

這道題目本質是求極限問題，分子分母均趨向0，屬于不定型，符合洛必達法則使用條件，所以可以使用洛必達法則進行求解，求解過程中，需要涉及積分上限函數求導問題，在經濟數學教材中對積分上限函數給出了3 種情形，它們分別如下。

這3 種情形是最為常見的情形，它們的共同之處就是被積函數只包含形參，不含有f（x）的項，若碰到積分里面含有f（x）的項，則上述公式就失效，如果硬套用公式，就會得出的錯誤結論[1-3]。 被積函數里含有f（x）的的積分上限統稱為含參積分上限函數，對于這類函數的求導最常見的方法是通過變換將含x 的項分離出來，分離之后再利用求導法則進行求解。

2 題目解法

解法1：將含x 的項分離出來，將之轉化為常見場景：

經過變換，上述式子已經完全轉化為普通的積分上限函數，因此可以同基本求導公式進行計算。按照洛必達法則，原式

解法2：

3 問題總結與拓展

一般來講，大多數含參積分函數可以通過換元積分法將含的項獨立出來，獨立出來之后函數就變換為常見的3 種場景，然后可以根據教材上的求導方法進行求導，那對于一般的含參積分有沒有通用的求導方法呢？

我們有如下定理：

此定理沒有采用分離變量的辦法，而是將函數分離成兩個函數，分離之后問題就轉化為一個f（x）和一個含參積分上限函數，問題就有可能轉化為上述常見的3 種情形，從而問題得到解決。按照這個定理，我們就可以對一些含參積分上限函數進行求解，下面以幾道例題進行分析。

4 應用實例

即f（x）為減函數，且f（1）=0，故0＜x＜1 時，f（x）＞f（1）=0，當x＞1 時，f（x）＜f（1）=1，綜上，f（x）＞0 成立的取值范圍為0＜x＜1。

思路分析： 不等式常見的方法有做差法和比商法，此題目采取做差的辦法，構造出一個新的函數，對新函數進行求導分析，確定其增減性，根據增減性解決問題。

分析：f（x）表達式是隱性的，無法直接通過積分得出具體表達式，但f'（x）可以通過求導公式表達出來，因此符合分部積分法的特征，可以利用分部積分法進行求解。

例4：設函數f（x），g（x）在區間[a，b]上連續，且f（x）單調增加，0≤g（x）≤1，證明：

分析：第一問是積分估值不等式的直接應用，較為簡單，第二問可通過構造函數（a）=0，然后結合函數求極值的方法進行解決。

證明：（1）∵x∈[a，b]，g（x）在[a，x]上連續，0≤g（x）≤1，由估值不等式

此題目為含參積分上限函數，令F（x，t）=sin（x-t）2按照拓展定理，令，代入可得：

思路分析：此題目直接應用定理，將求導轉化為積分，積分函數為三角函數易于求解[7-9]。也可采用變量替換的方法求解，難度基本一致。

5 結語

積分上限函數在考研題目屬于高頻題型，在很多數學教材上，僅僅針對3 種常見的情形進行了說明，對于含參積分上限函數的求導問題學生往往束手無策，該文通過一道考研題目的分析，給出了含參積分上限函數的常見解法，并針對一些常見題目做了應用分析，在考試中學生可結合洛必達求導法則、分部積分法、常微分方程求解等知識點，分析題目難點，充分理解積分上限函數的意義，掌握常見的求導方法，則在實際應用中就能得心應手。