深入數學領域，探討向量解法

呼斯木吉

摘 要：平面向量和空間幾何是高中數學教學內容的重要部分，把平面向量應用在幾何應用中取得很好的解題作用。本文就此詳細的闡述在數學課程中解決幾何難點疑點的有關問題中向量的具體作用。

關鍵詞：向量 應用 幾何

在幾何應用中，我們解決空間角、距離和證明空間平行及垂直有關的問題時，就是在考察學生的空間思維能力和想象能力以及邏輯思想，對于這些問題引入向量和結合向量解決數學知識起到至關重要的作用。讓復雜的問題簡單化，從而使問題得到迅速的解答。下面就是我對向量在幾何的有關數學問題中的應用進行詳細的闡述。

一、向量的認識

1.向量是數學中重要的應用模型

有人說，在數學中引入向量和使用向量來處理幾何問題是由于使用向量比綜合幾何方法更簡單、更輕松。這不是一個完整的觀點。雖然向量處理一些難題確實比綜合幾何更簡單，但也有一些更簡單的問題可用綜合幾何的方法去處理。向量被引入教科書，因為它們在數學中占有至關重要的位置。向量作為一個有方向和大小的量，是一個基本的數學概念。它在現代數學的發展中起著不可替代的作用。這是代數、幾何、函數分析等基礎學科研究的基本內容。可以對向量進行若干操作。因此，向量構成了數學相關代數的基本框架。

2.向量是幾何與代數的中間介質

向量是可以給出幾何解釋的代數對象。運算和有關定律是代數分析研究的最基礎的對象。重要的是要知道向量是幾何研究的對象。在數學中的立體幾何部分，向量可以用來討論點線與空間表面之間的位置關系;這包括確定直線、平面和平面的平行度和垂直度，用向量測量幾何形狀：計算長度、角度面積等。向量很簡單，也很容易理解。向量也被引入教材中，因為它適應了學生的認知學習的檢測水平。向量的概念有清晰的數學訓練，學生很容易理解;向量的計算并不復雜，學生也不難掌握。學習工具對于培養學生的數學技能和應用數學解決實際問題的能力是非常有用的。隨著數學視野的擴大，這些想法將使我們在將向量作為代數與幾何的中介進行交流時越來越有用。

二、向量在數學解題中的應用

1.在平面幾何中的使用

自從向量知識進入教材以來，向量作為一個工具來研究和解決數學問題被引起了極大的關注，特別是用來解決平面幾何中的問題，其工具性更為突出[1]。一方面，向量與平面幾何本身存在著空切的聯系，且平面幾何中的許多問題需添加輔助線，有時需進行論證推理，致使許多學生對幾何問題都有一種畏懼的心理;另一方面，向量的運算許多都可轉化為實數的運算，不用去考慮幾何圖形的形狀，通過一個綜合的演示，看起來幾個難以理解的數學平面幾何題，即向量的某種優越性在幾何平面中凸顯出來，得以吸引了學生的興趣，學生的思考和創新能力。因此，我們可以通過向量解決平面幾何問題。

2.在立體幾何中的使用

關于向量在立體幾何中的應用問題，其中最主要的計算都是圍繞平面的法向量開展和擴寬在大多數的數學題中，空間向量是解決數學問題的重要工具，其解決兩類問題：一、垂直問題，尤其是線面垂直問題（面面垂直基本類似）;二、角度問題，主要講二面角的平面角通過兩個平面法向量所稱的角來進行轉化（線面角與此類似），而在立體幾何問題通常致力于平面法向量的基本含義，向量是指與題干中給予平面垂直的向量，即一個已知的向量垂直于一個平面，可以無限地擴展根據其選擇的坐標，一般來說，基本是選取易于計算的平面法向量進行運用計算[2 - 3]。向量問題由三維幾何提出，以兩種方式解決向量三維幾何問題：一是直接計算向量，二是向量的坐標計算。一般來說，向量坐標計算，會擁有較少的思想且計算的技巧較弱，更輕松地將其掌握。雖然建立矩形坐標圖不容易，但我們也可以使用向量最大可能運算來解決問題，但其對學生具有邏輯推理能力也會要求上漲，因此協同向量坐標運算教學方法步驟：①注意空間直角坐標中，盡可能在同一點上已經從由兩兩垂直雙豎線，如果無三線也盡量找兩直線垂直，引人注意的是所寫點的坐標要求跟所建立的坐標系要同一一致（3）寫出所使用的向量坐標，注意所書寫的點的坐標要與所創造的坐標系統一和一致④經過計算找出解決問題的辦法。

3.在證明不等式的使用

向量在數學中應用表示內容廣泛、構造形式多樣的不等式。向量證明不平等的應用作為一種重要的數學工具，在教材中具有新的優先地位，近年來在教材中占有越來越重要的地位。因此，它經常被用來解決平面、立體和分析幾何問題;同樣可提供運算工具的幫助，可以簡化和使它更容易處理不平等問題，特別是對于那些含有總和乘數的數學題提供解決的方案且簡單明了。向量證明的不平等的構建涉及廣泛的主題，它綜合了幾種思維方法的應用，如變換函數方程的數值和形式組合。其創建形式也非常多樣化，通常具有簡單、簡潔、獨創性和新穎性等特點，這使得數學解決方案能夠超越常規，非常有創造力。在構造向量時，主要依據已知與結果所提供的信息（如特征、結構、計算等）進行想象，以此類推，巧妙地將不等式的證明轉化為向量的性質或運算，能將煩瑣的步驟以簡化，這充分反映了構造的數學教學中的效果，幫助學生提高數學模型的敏感性和數學思維技能包括創造性思維和審美能力的發展。

結語

向量的學習給了我們空間幾何給予了解代數的深刻概念，它將空間圖形位置關系的研究轉化為代數運算和推理，這對培養和發展學生的能力，特別是思維多元化的能力、推理論證能力提供了空間和平臺。因此只有熟悉常用的解題方法，才能使解決相關問題游刃有余。向量方法在進行解決立體幾何出現的問題時同時即使具有超大的優越感，但并不是萬能的，只有那些適于建立空間直角坐標系的題目才更加適合。

參考文獻

[1]郝子昱.高中數學平面向量解題分析[J].農家參謀，2017（14）：77.

[2]韓彬彬.淺談空間向量在立體幾何中的應用[C]//2017年課堂教學改革專題研討會論文集.2017.

[3]吳春平.空間向量在立體幾何中應用[J].池州師專學報，2004，18（5）：68-70.