發動機材料高周疲勞P-S-N曲線優化處理方法

許 巍,陳 新,李旭東,鐘 斌,趙延廣,陶春虎

（1．中國航發北京航空材料研究院，航空材料檢測與評價北京市重點實驗室，中國航空發動機集團材料檢測與評價重點實驗室，北京 100095；2．大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116085）

對于航空發動機而言，材料疲勞性能是影響服役安全性和可靠性的主要性能之一。而發動機材料的高周疲勞性能參數不但是性能評價的關鍵依據，更是發動機強度設計和壽命預測的必要參數[1]。因此針對發動機材料開展高周疲勞性能數據的測試和表征至關重要。隨著概率設計和可靠性設計理念在發動機強度設計中的廣泛采用，各型號發動機的設計過程中均提出了針對關鍵材料高周疲勞P-S-N曲線的處理要求，有時甚至要求給出含多個P值（存活率或可靠度）和置信度的高周疲勞曲線。

截止目前，國內外學者針對高周疲勞P-S-N曲線提出了許多數據處理的方法，這些方法各有特點。其中廣泛使用的方法是極大似然法[2-3]和最小二乘法[4]，這些方法在處理高置信度P-S-N曲線時對數據樣本量的要求較高。由于航空發動機材料成本往往較高，且高周疲勞測試項目普遍較多，因此試樣數量往往存在一定限制，所以滿足發動機材料高周疲勞P-S-N曲線處理更傾向于使用基于小子樣的方法。近年來發展了一些基于小子樣的方法[5-8]以及人工神經網絡方法[9]和貝葉斯方法[10-11]，均可實現P-S-N曲線的處理和高周疲勞壽命的可靠性評估，這些方法對實驗數據量的要求有所降低，但大多針對高周疲勞測試中成組法獲得的數據進行處理，對升降法獲取數據（即長壽命區）的處理缺乏針對性，而實際航空發動機強度設計中對長壽命區的數據需求更為迫切，應同時考慮成組法和升級法獲取數據以得到完整的P-S-N曲線。因此，上述處理方法大多無法全面滿足發動機材料高周疲勞性能數據要求。

相比而言，國家軍用標準《金屬材料力學性能數據處理與表達》（GJB/Z 18A-2005）所給出的高周疲勞P-S-N曲線處理方法基本能滿足上述要求，不過仍然存在一些不足。首先，該標準所述方法針對長壽命區的實驗數據處理只給出指導原則，缺乏具體的處理步驟和方法；其次，該標準方法僅僅針對壽命范圍為107循環數以內的疲勞曲線處理，針對更高壽命范圍（例如 3 × 107以上）的數據，該標準并沒有給出相應的處理方法，對于最高循環數達到108及以上的超高周疲勞性能數據，該標準所述方法更無法適用；最后，由于發動機材料疲勞性能具有數據規模大、種類多的特點，同時可能還需要考慮不同加載方式、應力比和溫度的影響，因此發動機型號相關的高周疲勞性能數據通常處理工作量非常大，提高處理效率十分迫切，然而目前缺乏高周疲勞數據批處理等優化方法，無法滿足發動機材料領域大量疲勞數據處理的實際需求。

本工作針對高周疲勞P-S-N曲線處理過程中的關鍵環節提出改進方法，以確定數據處理過程中的關鍵參數，對處理流程進行優化，然后通過編制MATLAB程序實現P-S-N曲線的優化處理，給出在某型航空發動機用鈦合金材料高周疲勞和超高周疲勞P-S-N曲線處理的應用算例，并對比了本方法與傳統方法的處理效率。

1 基本思想

目前，三參數冪函數模型在高周疲勞中值S-N曲線和P-S-N曲線的處理中應用較為普遍，三參數冪函數模型的表達式見式（1）：

式中：Smax和Nf分別表示最大應力和失效循環數；B1、B2和B3表示擬合參數，均為正數，通常采用最小二乘法確定。需要指出是，有時根據數據分布特點，三參數模型可能無法擬合出相應的高周疲勞曲線，于是可以采用式（2）所示的二參數模型來實現擬合：

對于P-S-N曲線，可采用三步法來對數據處理。第一步；針對高周疲勞實驗數據的高應力、中等壽命區進行處理，計算這個區域數據的中值曲線和標準差。這里假設疲勞性能參數服從對數正態分布，于是可通過中值偏移公式（3）和單側容限系數公式（4）得到高應力、中等壽命區性能處理數據。

第二步：在得到高應力、中等壽命區的處理后數據后，再針對長壽命區的性能數據進行處理，將長壽命區統計性能的數據點用修正的威爾遜方法求出。第三步：將前兩步得到的全部數據點用三參數冪函數法進行擬合，即可得到高周疲勞P-S-N曲線方程。關于修正的威爾遜方法，在文獻[12]中已有詳細介紹，這里不再贅述；但是有一點需要強調，威爾遜方法僅在最大循環數107處生成一系列數據點，并根據式（3）和式（4）計算得到一定存活率和置信度的數據點。然而，僅有最大循環數一處的數據點，難以達到理想的P-S-N數據處理效果，因此需在長壽命區的不同指定循環數條件下（例如5 × 105、106、5 × 106等）運用修正的威爾遜方法獲得不同的偏移點，這樣就可以利用這些點繪制出較為理想的P-S-N曲線。

2 數據處理流程

2.1 擬合模型的選擇

前面已經指出，對于高周疲勞曲線（中值S-N和P-S-N）可以根據數據情況分別采用方程(1)和方程(2)所述的三參數和二參數模型來實現擬合。如何選擇模型類型在實際數據處理中至關重要，傳統觀念認為用擬合過程中的相關系數r來判斷哪種模型更為合適[13]，應該選擇r相對較大的模型來擬合高周疲勞實驗數據，雖然這種說法本身沒有問題，但是僅僅依據r大小來判斷，可能無法對采用何種模型做出準確判斷。下面給出本工作提出的擬合模型的選擇方法。

根據式（1），易導出公式（5）：

對式（5）兩邊取極限，可以得到：

由式（6）可以判斷，當循環數N趨近于無窮大時，最大加載應力Smax趨近于B3，從數學意義上說，B3可以認為是高周疲勞曲線的疲勞極限，于是B3需滿足 B3> 0 的要求，另外，由式（1）結合對數的基本性質可知 Smax–B3> 0，于是可得：

事實上，當利用最小二乘法處理實驗數據時，最后通過求解一個關于B3的非線性方程f（B3）=0來得到B3，該非線性方程的形式較為復雜，這里不詳細給出，具體求解可采用數值計算方法（例如二分法）來實現，該非線性方程形式及求解過程可參見文獻[13]。利用二分法求解的前提是B3所在的求解區間端部存在正負相反的函數值，此求解區間即是式（7）所示區間，于是，f（B3）= 0 存在非零解的前提是：

式中，ξ表示一個小量，可設置為0.001，設置該小量的原因是B3的求解區間為半開區間，如式（7）所示，B3不能等于Smax。如果式（8）不滿足，則在該求解區間內 f（B3）= 0 無解，即式（1）所述的三參數模型無法實現對該組疲勞實驗結果的擬合，于是采用按式（2）所述的二參數模型進行擬合。所以在擬合模型的選擇上，完全可以實現自動判斷，通過程序一次性完成數據處理。

2.2 臨界點的優化確定

目前，對于中等壽命區和長壽命區的臨界點缺乏明確的判斷依據，即使是國軍標GJB/Z 18A—2005，對于高應力（中等壽命）區和低應力（長壽命）區的臨界點，也沒有給出明確的判斷方法，標準原文的表述是：“中等壽命區與長壽命區之間的分界，可直接或從雙對數坐標上通過觀察實驗點在S-N曲線圖上的分布狀況憑經驗確定，一般可取3 × 105周~5 × 105周處的應力作為界線”。實際數據處理過程中如果憑經驗確定臨界點，必然會造成數據處理結果因人而異的不利局面。

另一方面，隨著發動機材料對循環周次數要求的提高，高周疲勞實驗的目標循環數已經不局限于傳統的107周次[14-15]，而在更高目標循環數的高周疲勞測試中，其臨界點對應的循環周次也不局限于“3 × 105周~5 × 105周處”范圍內。考慮到高周疲勞曲線的測定過程中針對中等壽命區和長壽命區分別采用成組法和升降法，可以認為中等壽命區和長壽命的應力臨界點實質上就是成組法和升降法的應力臨界點。

將達到目標循環數而試樣不發生破壞的點定義為溢出點（run out，RO），在升降區所包含的所有的溢出點中，最大的應力級通常作為升降區的起點，而由于升降法中數據配對和閉合的要求，該起點的上一級破壞點通常也被納入升降區范圍。因此，先將所有溢出點中的最高應力級的更高一級應力作為臨界應力，即臨界應力Scritical可以用式（9）表示：

2.3 數據的批處理方法

實現高周疲勞性能數據高效處理的關鍵是數據的批處理，批處理的基本途徑是實現原始數據的批量導入、自動化處理和批量輸出。本工作提出的批處理方法具體流程如下所述：

（1）將多條高周疲勞原始實驗數據（應力、壽命）和置信度（γ）、存活率（p）等處理要求依次導入同一個Excel文件；

（2）打開MATLAB軟件，并將該Excel文件一次性讀入到MATLAB程序中；

（3）通過編制的MATLAB主函數調用P-S-N曲線處理子函數，依次對導入的Excel文件中數據進行逐條處理；

（4）通過式（9）確定臨界應力，進而分別將原始實驗數據進行分類，分別劃入高應力（中壽命）區和低應力（長壽命）區兩個區域；

（5）對兩個區域內的實驗數據點分別進行處理，獲得上述兩個區域的指定存活率和置信度的偏移數據點，即P-S-N數據點；

（6）將步驟（5）產生的數據點通過三參數或兩參數模型進行擬合，通過式（8）來判斷采用何種擬合模型，得到擬合參數；

（7）回到步驟（3），重復后續步驟，直到導入的所有數據都處理完畢；

（8）將數據處理得到的所有結果文件一次性導出，批量繪制P-S-N曲線。

上述的高周疲勞數據P-S-N曲線的批處理過程可以用圖1所示的流程圖來表示。類似地，可以利用此方法實現高周疲勞數據的中值S-N曲線的批處理。

3 高周疲勞實驗及數據處理

3.1 高周疲勞實驗

針對航空發動機使用的鈦合金材料，開展最高循環數為3 × 107周次的200 ℃高溫旋轉彎曲疲勞實驗，材料牌號為TC17，參考的實驗標準是航空工業標準《金屬高溫旋轉彎曲疲勞試驗方法》（HB5153—1996），試樣形狀和尺寸見圖 2（a）；另外，開展最高循環數為108周次的室溫軸向高周疲勞實驗，應力比為–1，材料牌號為TA11，參考的實驗標準是航空工業標準《金屬材料軸向加載疲勞試驗方法》（HB5287—1996），試樣形狀和尺寸見圖2（b）。這里需要指出的是，這里所選的兩種高周疲勞實驗的最高循環數都大于常見的107周次，其中TA11鈦合金軸向高周疲勞的最高循環數達到108周次，即可以認為屬于超高周疲勞問題所考慮的周次范圍[15-16]。

圖1 高周疲勞性能數據的批處理流程圖Fig.1 Flow chart of batch processing of high cycle fatigue data.

3.2 數據處理結果

采用第2節所述的高周疲勞性能數據處理流程方法，分別對TC17高溫旋轉彎曲疲勞和TA11軸向疲勞的實驗結果進行處理，為了全面滿足不同設計需求，需要得到5種情況的曲線，分別是中值S-N曲線和4條P-S-N曲線，其中P-S-N曲線分別考慮置信度為50%的–2σ、–3σ情況和置信度為95% 的–2σ、–3σ 情況。

圖2 高周疲勞試樣的形狀和尺寸圖 （a）旋轉彎曲疲勞試樣；（b）軸向高周疲勞試樣Fig.2 Size and shape of fatigue specimen for comparison（a）rotating-bending specimen； （b）axial-loading specimen.

將原始實驗數據和上述5種處理條件通過自編程序一次性導入MATLAB軟件中進行計算，通過自編的批處理程序完成P-S-N數據處理，程序自動生成所有情況的擬合曲線和擬合方程的參數。其中，TC17高溫旋轉彎曲疲勞性能的各條P-S-N曲線見圖3（a），可以看出，圖中各P-S-N曲線呈現出近似直線的特征，從各曲線分布的特點來看，相同循環數對應的各P-S-N曲線的應力值從大到小排布順序依次是：中值、置信度為50%的–2σ、置信度為95%的–2σ、置信度為50%的–3σ和置信度為95%的–3σ曲線，其中置信度為95%的–2σ和置信度為50%的–3σ的曲線十分接近。

TA11鈦合金軸向高周疲勞的P-S-N曲線見圖3（b），圖中各條P-S-N曲線表現出明顯的彎曲弧度特征，最大應力值隨著循環數的增加呈現先快速下降后逐漸趨緩的特點，相同循環數對應的各P-SN曲線的應力值從大到小排布順序依次是：中值、置信度為50%的–2σ、置信度為50%的–3σ、置信度為95%的–2σ以及置信度為95%的–3σ曲線，盡管其大小順序與TC17對應各曲線的順序略有不同，但置信度為95%的–2σ和置信度為50%的–3σ的曲線的同樣十分接近。事實上，目前航空發動機設計準則（GJB 241A—2010）中明確提出發動機材料疲勞性能應都用置信度為50%的–3σ值或置信度為95%的–2σ表示。根據圖3給出的結果，可以認為這兩種置信度-存活率要求下的高周疲勞P-S-N曲線是近似等價的。

圖3 高周疲勞的 P-S-N 曲線的處理結果 （a）TC17 鈦合金 200 ℃ 光滑試樣（Kt = 1）旋轉彎曲疲勞曲線；（b）TA11 鈦合金光滑試樣（Kt = 1）室溫軸向疲勞曲線Fig.3 Processing results of high cycle fatigue P-S-N curves （a）200 ℃ axial-loading fatigue curves of TC17 Ti-alloy specimens；（b）RT rotating-bending fatigue curves of TA11 Ti-alloy specimens

選用式（1）對應的三參數冪函數模型作為各PS-N曲線的擬合模型，可以通過上述數據處理程序一次性得到各條P-S-N曲線的擬合參數。TC17合金旋彎疲勞和TA11合金軸向疲勞實驗結果的擬合參數結果分別見表1和表2。其中，γ和p分別表示置信度和存活率，B1~B3為擬合參數，r為擬合方程的相關系數，用來評價擬合的效果，該值越接近1表示擬合得越好。需要指出的是，由于本程序可以一次性生成擬合參數表，而無需后期人工輸入，從而減輕了工作強度，降低了人為操作失誤的發生率。

為了定量評估本工作提出方法處理效率，分別采用本程序方法和傳統方法對上述TC17和TA11的高周疲勞數據進行處理，處理平臺為相同的臺式計算機，處理的目標即得到圖3所示曲線，并記錄處理時間。針對兩種材料性能數據的處理時間對比見圖4。可以看到，本方法節約了人工判定和操作的時間，數據處理完全由計算機自動處理，所需時間遠低于傳統方法，本方法的處理效率大約是傳統方法的8~9倍。

表1 TC17合金旋轉彎曲疲勞的P-S-N曲線的擬合參數結果Table 1 Fitting parameter results of P-S-N curves of rotating-bending fatigue testing of TC17 specimens

表2 TA11合金軸向高周疲勞的P-S-N曲線的擬合參數結果Table 2 Fitting parameter results of P-S-N curves of axial-loading fatigue testing of TA11 specimens

圖4 實驗數據處理時間的對比Fig.4 Comparison of process time of testing data

4 討論

對于高周疲勞P-S-N曲線而言，其結果受到有效數據點個數的顯著影響。在以往的處理方法中，得到高置信度（例如95%）的P-S-N曲線需要的樣本點較多，有時一條完整的P-S-N曲線可能需要近百根試樣的數據。而采用GJB/Z 18A-2005推薦的方法，對樣本點數量的要求顯著降低，獲取一條完整的P-S-N曲線可能僅需要30多根試樣。這主要是因為采用了將實驗數據點劃分為高應力（中等壽命）區和低應力（長壽命）區的兩個區域，在使用單側容限系數，即式（4）進行偏移值計算時，其數據點個數是以每個區域的數據點總數為基礎的，而兩個區域的數據點個數大致相等，所以數據點數量保證了得到的單側容限系數和P-S-N曲線的合理性。盡管如此，在實際的高周疲勞實驗過程中，特別是對于某些疲勞性能分散性較大的材料，還是希望能盡量多地獲得有效實驗數據點，以獲取更具有實用價值的P-S-N曲線。

此外，還有一點需要指出，本工作所提出的優化的高周疲勞P-S-N處理方法并非對所有的高周疲勞實驗數據都適用。符合現行實驗疲勞標準的高周疲勞實驗一般針對高應力（中等壽命）區和低應力（長壽命）區，會分別按照成組法和升降法來確定實際加載應力，對于這種情況下的實驗數據，按照前面2.2節提出的臨界應力判斷方法可以有效確定臨界應力。如果并沒有按照成組法和升降法安排實驗，或者得到的實驗數據點分布不規則，可能會導致某個分區的數據點過少或者無溢出點的情況，則本工作提出的臨界應力判斷方法將無法適用，以至于后續的批處理過程無法順利進行，在這種情況下，則需要人為確定臨界點，以便順利實現P-S-N曲線的處理。

5 結論

（1）提出了高周疲勞擬合模型的選用判據，可以有效地確定數據處理過程中可采用的擬合模型的類型；

（2）提出了高周疲勞P-S-N曲線處理過程中的高應力（中壽命）區和低應力（長壽命）區之間臨界點的合理判據，為P-S-N曲線批處理程序的自動運行創造了條件；

（3）提出的優化方法可以實現高周疲勞P-S-N曲線批量處理，該優化處理方法不僅滿足107周次以內的常規高周疲勞的數據處理需求，還可適用于更高循環周次的超高周疲勞的數據處理，且處理效率顯著提升。