金屬陶瓷功能梯度板的模態頻率分析

劉 超,劉文光

（南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063）

高超音速飛行器再入大氣層時，由于強烈的氣動加熱作用，機翼駐點處溫度可達10000 K以上，使得飛行器壁板容易出現屈曲和熱顫振等問題，從而引發壁板萌生微裂紋、表層蒙皮材料脫落，危及飛行器的安全可靠性[1-2]。因此，采用復合材料設計熱防護系統以避免飛行器壁板的氣動加熱和顫振失穩，已經受到學術界和工程界的廣泛關注。

傳統的復合材料雖然具有耐熱、隔熱、輕質等熱防護特性，但因內部組分不連續、界面失配等問題，氣動加熱時易出現應力集中和突變，影響結構的安全穩定性[3-4]。于是，有學者提出了功能梯度材料（functionally graded materials，FGMs）這一設計理念[5]。FGMs作為一種新型的非均質復合材料，由兩種或多種不同材料組成，材料體積分布沿著某個方向連續變化，并具備傳統復合材料所沒有的優勢，如降低界面應力[6]、物理特性連續變化等。這些特性使得FGMs在超音速飛行器熱防護系統領域有著潛在的應用前景。

氣動加熱不僅導致熱防護系統表面溫度劇烈變化，而且溫度的變化會影響到熱防護系統的振動特性。近幾十年來，很多學者以FGMs殼、梁和板為對象，研究了熱環境下FGMs結構的振動特性。基于三階剪切變形理論，曹洲等分析了熱環境下功能梯度夾層雙曲殼的自由振動特性[7]。結合能量原理和薄殼理論，劉文光等建立了FGMs薄壁圓殼的模態方程，研究了不同熱環境下薄壁圓殼的模態頻率[8]。采用改進的傅里葉級數，陳金曉等討論了彈性邊界條件下FGMs圓柱殼尺寸、陶瓷體積分數等對圓柱殼固有頻率的影響[9]。針對具有特定功能的石墨烯增強功能梯度納米復合梁，Shahrjerdi等探究了熱環境對梁振動特性的影響[10]。以三階剪切變形理論為基礎，Zahedinejad研究了不同熱環境和不同邊界條件下功能梯度梁的自由振動[11]。以薄板理論和Rayleigh-Ritz法為基礎，Chakraverty等推導了FGMs板的頻率方程，探索了熱環境對薄板振動頻率的影響[12]。通過一階剪切變形理論，欒瑋荻推導了FGMs板的振動方程，研究了熱環境對板自由振動響應的作用[13]。結合二階剪切變形理論和能量原理，Shahrjerdi等討論了不同熱環境下功能梯度板的自由振動特性[14]。基于高階剪切變形理論，Parida等建立了含等參單元的FGMs板的有限元模型，討論了熱環境對功能梯度板自由振動的影響[15]。通過推導功能梯度板的非線性振動和屈曲運動方程，吳曉等求解了功能梯度板的非線性振動近似解[16]。

動態表明，大多數研究采用理論推導和有限元建模的方法研究FGMs結構的振動特性。理論推導方面，主要有分層彈性柔度線性模型、分段指數分層模型和線性分層模型等[17-18]，其思想是將FGMs沿梯度方向分成多層，每層材料內部按照線性或者指數形式變化。有限元建模主要是均勻屬性分層模型[19-21]。均勻屬性分層是將每層材料參數簡化為常數，處理復雜問題很方便，在工程應用中較為廣泛。雖然有限元方法主要利用離散的Gauss積分，取單元內部Gauss積分點處的實際材料屬性，可大大節約網格數量，但是編程難度較大，所以很少研究者直接采用有限元建模法來實現FGMs材料物理屬性的連續變化，鮮有研究者通過有限元方法來探究熱環境下FGMs結構的振動特性。

本工作在探討熱環境對FGMs物理特性影響的基礎上，采用溫度控制的方法描述材料屬性并實現FGMs板的線性分層建模，探究材料陶瓷體積分數指數、板的幾何尺寸和熱環境對FGMs板模態頻率的影響。

1 FGMs板的建模

1.1 FGMs板模型描述

以圖1所示的FGMs板為研究對象。假設板的幾何尺寸是a×b×h，板的上表面和下表面分別由純陶瓷和純金屬制成，中間部分的材料成分由純金屬向純陶瓷連續變化。FGMs材料屬性的這種連續性變化受到環境溫度和空間位置共同影響。

圖1 FGMs板模型Fig.1 FGMs plate model

建立圖1所示的（x，y，z）直角坐標系，假設溫度梯度只沿厚度方向變化，基于混合率模型，FGMs在任意空間位置的有效材料屬性可表示為[22-24]：

式中：Γ（z，T）表示 FGMs的有效熱物理特性，如彈性模量E、泊松比ν、密度ρ和熱傳導系數β等；T是溫度值，表達式為T=T0+ ΔT（z），T0是環境溫度，ΔT（z）是沿z軸厚度方向的溫差；N是FGMs陶瓷體積分數指數，取值為 0 ≤N< ∞；Γc（T）和Γm（T）分別代表FGMs組分中陶瓷和金屬的熱物理特性，可由非線性函數表示[22-24]：

式中：αi（i= ?1，0，1，2，3）是材料溫敏特性參數，具體取值見表1所示。

表1 SUS304 和 Si3N4 溫敏特性系數[25]Table 1 Temperature-dependent coefficients of SUS304 and SiN[25]34

1.2 FGMs板的建模方法

利用溫度在有限元模型中隨空間位置連續變化的特點，可建立溫度值與實際材料物理屬性的一一對應關系，建立層間材料特性無突變的連續模型。建模思路是：首先確定FGMs板沿梯度方向的分層數；然后計算特定空間位置的FGMs物理屬性和溫度值，并建立溫度與FGMs物理屬性之間的一一對應關系；最后在載荷分析模塊對FGMs板模型整體施加基于空間位置變化的溫度場函數。在有限元運算時，Gauss積分點處會自動根據設置的溫度場函數獲取該積分點的實際溫度值，通過FGMs物理屬性和溫度間的對應關系得到Gauss積分點處的實際FGMs物理屬性。本工作中，采用一階單元進行線性插值，Gauss積分點其他區域的FGMs物理屬性會根據積分點處的FGMs物理屬性進行線性插值，實現FGMs物理屬性的連續變化，如圖2所示。

圖2 FGMs 板的分層建模方法Fig.2 Modeling principle of FGMs plate

如圖2所示，FGMs板沿厚度方向總共分為n + 2 層，其中 T1、T2…Tn + 1和 x1、x2…xn + 1分別表示Gauss積分點處的溫度值和位置。基于上述建模方法，可得到描述彈性模量E、泊松比ν和密度ρ的線性函數：

式中：Ei、νi和ρi分別表示對應積分點處與溫度相關聯的第i個Gauss積分點的彈性模量、泊松比和材料密度；z表示材料厚度方向的坐標，i表示層數（0 < i < n + 2），zi表示第 i層的坐標（zi-1< z < zi）；系數 ai、bi、ci、di、ei和 fi的表達式如下：

2 熱環境對 FGMs 彈性模量的影響

由于超音速飛行器在飛行時需要面臨復雜的熱環境，致使FGMs的物理屬性改變，進而影響FGMs結構模態頻率。為便于分析，忽略溫度對FGMs的比熱和熱膨脹系數等參數的影響，下面僅考慮沿厚度方向一維分布的熱環境對FGMs彈性模量的影響。

2.1 熱環境的描述

假設作用在FGMs板底部和頂部的溫度分別為 Tb和 Tt，則上下表面溫差 ΔT = Tt?3 Tb。FGMs板沿厚度方向一維升高的均勻溫度場表示為：

線性溫度場表示為：

非線性溫度場下，沿厚度方向的溫升可由一維穩態熱傳導方程解得，穩態熱傳導方程和溫升分布函數可分別表示為[26]：

式中：β（z）表示熱傳導系數；h表示FGMs板厚。

圖 3 描述了陶瓷體積分數指數 N = 1，ΔT = 500 K時三種溫升下沿厚度方向的溫度場分布規律。

圖3 三種溫升下沿厚度方向溫度場的分布Fig.3 Distribution of temperature field along thickness direction under three temperature rises

2.2 熱環境對彈性模量的影響

取環境溫度 T0= 300 K，溫度梯度值從 0 K 變化到 1100 K，陶瓷體積分數指數 N = 2，E0為室溫下SUS304的彈性模量，Ei為不同溫度下FGMs的彈性模量。

如圖4所示，不同熱環境對FGMs的彈性模量都有一定影響，這必定會影響FGMs板的剛度等，進而影響板的模態頻率。

3 建模方法的驗證和分層收斂性

3.1 建模方法的驗證

為了驗證建模方法的準確性，假定FGMs板的長寬比 a/b = 1、厚 h = 0.02 m，長 a = 0.2 m，陶瓷體積分數指數N = 2。采用分層模型計算不同均勻熱環境下FGMs板的前6階模態頻率，并與文獻[25]、[27]和[28]的結果對比。

如圖5所示，第2、3階模態頻率為板的對稱模態，本模型求解的模態頻率值與文獻結果間的誤差在一定范圍內，并與理論值大致吻合，證明了本工作建模方法的有效性。

圖4 熱環境對彈性模量的影響 （a）均勻溫度場；（b）線性溫度場；（c）非線性溫度場Fig.4 Effects of thermal environment on Young ’s modulus （a） uniform temperature field； （b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

圖5 均勻溫升下 FGMs 板前 6 階模態頻率對比Fig.5 Comparisons of the first six modal frequencies for FGMs plate subjected to uniform temperature rise

3.2 分層的收斂性

雖然線性分層模型無需對FGMs板進行實體分割，但需對FGMs梯度方向進行取點分層，因此存在分層數的收斂性問題。采用與3.1節相同的FGMs板模型，將層數設置在2層到50層不等，分別計算FGMs板的模態頻率。對模型施加均勻溫度場，定義 T0= 300 K，ΔT = 0 K。如圖6所示，不同階模態頻率隨分層數的變化趨勢大致相似，當分層數大于10時，模態頻率值已經收斂。因此，本工作將FGMs板沿梯度方向分為20層。

4 FGMs板的模態頻率分析

假設 FGMs板的環境溫度 T0= 300 K，板的幾何尺寸 a × b × h = 0.5 m × 0.625 m × 0.05 m，板的四邊底部完全固支。建模時，將FGMs板沿厚度分20層，全部采用C3D8R單元，單元數為77280。通過Python編程建立FGMs板的參數化有限元模型，分別計算陶瓷體積分數指數、板的長寬比和熱環境對FGMs板模態頻率的影響。

圖6 模態頻率的收斂性Fig.6 Convergence of modal frequencies

圖 7 為 ΔT= 300 K 時，不同熱環境下 FGMs板模態頻率與板長寬比、陶瓷體積分數指數N之間的關系。結果發現：同一長寬比時，FGMs板模態頻率隨N的增大逐漸減小；當N小于2時，模態頻率變化更為明顯；相同N時，長寬比增大會增加使模態頻率下降率。

圖8展示了N= 5時，不同熱環境下FGMs板的模態頻率與板長寬比和溫度梯度的關系。結果表明：同一長寬比時，FGMs板的模態頻率隨著溫度梯度增加而逐漸減小；均勻溫度場的溫升對模態頻率的影響最為明顯；線性溫度場溫升對模態頻率的影響最小；非線性溫度場下，當溫度梯度在300~400 K時，模態頻率的下降率最大，隨后趨于平穩。

分析表明，長寬比等于1.6時，FGMs板的固有頻率變化較大。圖9研究了長寬比等于1.6時不同熱環境下溫度梯度和體積分數指數與模態頻率的關系。結果表明：N不變時，模態頻率隨溫度梯度的增大逐漸減小；溫度梯度不變時，模態頻率下降率隨體積分數指數的增大逐漸減小；除均勻溫度場外，體積分數指數N相比溫度梯度ΔT對模態頻率的影響更為明顯。

以溫度梯度為800 K和 300 K時FGMs板的模態頻率為參考，定義模態頻率下降率η：

圖7 陶瓷體積分數指數和長寬比對模態頻率的影響 （a）均勻溫度場；（b）線性溫度場；（c）非線性溫度場Fig.7 Effects of volume fraction index and aspect ratio on the modal frequencies （ a） uniform temperature field； （ b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

圖8 溫度梯度和長寬比對模態頻率的影響 （a）均勻溫度場；（b）線性溫度場；（c）非線性溫度場Fig.8 Effects of temperature gradient and aspect ratio on the modal frequencies （ a） uniform temperature field； （ b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

圖9 陶瓷體積分數指數和溫度梯度對模態頻率的影響 （a）均勻溫度場；（b）線性溫度場；（c）非線性溫度場Fig.9 Effects of volume fraction index and temperature gradient on the modal frequencies （ a） uniform temperature field；（b）linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

圖10研究了長寬比等于1.6時不同熱環境下FGMs板的前三階模態頻率與陶瓷體積分數指數N的關系。結果表明：均勻溫度場下FGMs板的前三階模態頻率的下降率約等于線性和非線性溫度場下模態頻率下降率的4倍，即均勻溫度場對模態頻率十分敏感；均勻溫度場下，模態階次越高模態頻率下降率越大，且N對高階模態的影響更大；而在線性和非線性溫度場下，模態階次越大，模態頻率下降率越小，N對第一階模態的影響最大；均勻溫度場下，當N小于2時，模態頻率下降率隨N增大急劇增大；而線性和非線性溫度場下，隨著N的逐漸增大，模態頻率下降率近似呈現一次遞增的趨勢，對模態頻率的影響也越來越大。

圖10 熱環境對模態下降率的影響 （a）均勻溫度場；（b）線性溫度場；（c）非線性溫度場Fig.10 Effects of thermal environment on the decrease ratio of modal frequencies （ a） uniform temperature field； （ b） linear temperature field；（c）nonlinear temperature field

5 結論

（1）基于溫度控制的FGMs線性分層建模方法相對于傳統的均勻屬性分層建模思想，更符合功能梯度材料沿厚度連續分布的建模思想，而且建模更加便捷、高效。

（2）熱環境對FGMs物理屬性的影響明顯，在利用FGMs設計飛行器壁板時必須考慮熱環境對FGMs物理特性的作用。

（3）FGMs板的幾何尺寸不變時，增大陶瓷體積分數指數N會減小FGMs板的模態頻率；當陶瓷體積分數指數N小于2時，模態頻率變化十分明顯；在利用FGMs設計飛行器壁板時，建議陶瓷體積分數指數N大于2。

（4）FGMs體積分數指數N不變時，增大板的長寬比有利于提高板的模態頻率下降率；長寬比不變時，對模態頻率影響最大的是均勻溫升，最小的是線性溫升；溫度梯度在300~400 K時，非線性溫升對模態頻率的影響較大。

（5）溫度梯度在300~800 K時，均勻溫度場對模態頻率下降率的影響近似于4倍的線性溫度場和非線性溫度對模態頻率下降率的影響，而且均勻溫度場對高階模態的影響最大，而線性和非線性溫度場對一階模態的影響更大。