高考數(shù)學(xué)命題題源探究

◇ 張玉良

“年年歲歲題相似，歲歲年年人不同．”每一屆高三學(xué)生都會(huì)好奇高考題是如何命制的，高考命題題源在哪．如果能弄清楚這兩個(gè)問題，高三的備考就更有針對(duì)性了．筆者通過對(duì)2019年全國卷及獨(dú)立命題的省市高考題進(jìn)行歸納、整理，得出了高考命題的幾個(gè)重要來源，供高三考生備考參考．

1 源于教材

教材是教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)，教材中包含了學(xué)生必須要掌握的內(nèi)容，其中例題、習(xí)題具有很強(qiáng)的代表性，因此教材也成為高考命題的重要依據(jù)．不難發(fā)現(xiàn)，很多考題都是以教材中的例題或習(xí)題為背景，通過改編得到的，因此對(duì)教材的深入探究是高考備考的重要內(nèi)容．

例1(2019年全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為

設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，由已知得a＝6，c＝4．設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以且MF1＞a＝6，0＜MF2＜6，又F1F2＝2c＝8，所以△MF1F2是以MF2為底邊的等腰三角形，所以MF1＝F1F2＝8，MF2＝4．所以點(diǎn)M即為方程(x0＋4)2＋y20＝64與在第一象限的解，聯(lián)立兩方程解得x0＝3或21(舍)，則，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為

考題探源(人教版《選修2-1》課后練習(xí))已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，如果△PF1F2是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

2 源于各市、區(qū)的模擬題

各市、區(qū)的模擬考試是參照考綱要求、命題原則命制試題的，是在高三各個(gè)復(fù)習(xí)階段檢測(cè)考生復(fù)習(xí)情況的階段性考試，試題的針對(duì)性較強(qiáng)，因此往屆的模擬考試試題也成為高考命題人參考的重要資料．

例2(2019年全國卷Ⅱ)設(shè)f(x)的定義域?yàn)镽，滿 足f(x＋1)＝2f(x)，且 當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)＝x(x－1)．若對(duì)任意的x∈(－∞，m]，都有則m范圍是( )．

因?yàn)楫?dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)＝x(x－1)，又因?yàn)閒(x＋1)＝2f(x)，所 以f(x)＝2f(x－1)，即將f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位，且圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，如圖1所示．

圖1

當(dāng)2＜x≤3時(shí)，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)·．因?yàn)閤∈(－∞，m]時(shí)成立，所以．故選B．

考題探源定義在(0，＋∞)上的f(x)滿足:①當(dāng)x∈[1，3)時(shí)，f(x)＝1－|x－2|；②f(3x)＝3f(x)．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a的零點(diǎn)從小到大依次為x1，x2，…，xn，…．若a＝1，則x1＋x2＋若a∈(1，3)，則

3 源于往屆的高考題

對(duì)往年高考題進(jìn)行改編和創(chuàng)新是高考命題的另一種重要形式，有時(shí)將題目條件進(jìn)行改編，有時(shí)對(duì)所求結(jié)論或問題背景進(jìn)行改編．

例3(2019年江蘇卷)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是

從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，不同的選法共C25＝10種情況．選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的情況有兩種:選出2名女同學(xué)，有C22＝1種選法；選出1名女同學(xué)，1名男同學(xué)，有C13C12＝6種選法．

考題探源(2018年全國卷Ⅰ)從2名女生和4名男生中選3人參加科技比賽，且至少有1名女生入選，則不同的選法共有種(用數(shù)字填寫答案)．

4 源于競(jìng)賽試題

從內(nèi)容來看高考與各級(jí)各類競(jìng)賽互為補(bǔ)充，因此高考命題參考競(jìng)賽命題也就不足為奇了．

例4(2019年全國卷Ⅱ)已知點(diǎn)A(－2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為．記M的軌跡為C．

(1)求C的方程；

(2)過原點(diǎn)O的直線交C于P，Q，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G．

(ⅰ)證明:△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值．

(2)(ⅰ)設(shè)直線PQ的斜率為k(k＞0)，則其方程為y＝kx，將 其 與 曲 線C的 方 程 聯(lián) 立，得x＝則P(t，tk)，Q(－t，

于是，直線QG的斜率為方程為t)，將其與C的方程聯(lián)立，得

令G(xG，yG)，則－t，xG是方程①的解，所以所以PQ⊥PG，△PQG是直角三角形．

(ⅱ)△PQG的面積的最大值為

考題探源已知直線x－y＋1＝0經(jīng)過橢圓S:的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線交橢圓S于點(diǎn)P，A，其中點(diǎn)P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為S，延長(zhǎng)AC交橢圓S于點(diǎn)B，求證AP⊥BP．