由一道教材習題談解題后的反思

◇ 馬中明

解題后的反思是幫助學生鞏固所學知識、提高分析和解決問題能力的重要方式，但反思的內容是什么，眾說紛紜．教學中，筆者采用反思不同解法、反思解法優化、反思一般結論、反思問題根源等方式，取得了較好的教學效果．現以人教A版教材中一道數列習題為例談解題后的反思，與廣大同行分享．

1 問題呈現

例1(人教A版數學《必修5》數列習題)已知數列{an}，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，對這個數列的通項公式進行研究，能否寫出它的通項公式?

本題是在學生學習了數列的遞推關系an＋1＝f(an)后，出現的一道三項遞推關系問題．對于兩項遞推關系問題，我們常采用構造法，構造出特殊的等差或等比數列再求解．其實，對于三項遞推關系同樣可以采用這種方法．

2 問題解答

根據an＝2an－1＋3an－2(n≥3)的結構特殊，將等式兩 端 同 時 減3an－1，得an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，進而可得數列{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－13為首項，－1為公比的等比數列，所以an＋1－3an＝－13×(－1)n－1，進而得出相鄰兩項的遞推關系．

將式an＋1－3an＝－13×(－1)n－1兩邊同時除以

3 解題反思

3.1 反思不同解法

反思1在得出an＋1－3an＝－13×(－1)n－1后，兩邊同時除以3n＋1，得

反思2如果所給遞推關系不易觀察出構造方法，可利用待定系數法處理，即令an－san－1＝t(an－1－，從而可得數列{an＋1－san}是以a2－sa1為首項，t為公比的等比數列．

此方法在“反思一般結論”中有詳細說明，此處不再贅述．

3.2 反思解法優化

反思3將an＝2an－1＋3an－2(n≥3)兩端同時減3an－1，得an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，進而可得數列{an＋1－3an}是以a2－3a1＝－13為首項，公比為－1的等比數列，所以

將an＝2an－1＋3an－2(n≥3)兩端同時加an－1，可得an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，進而可知數列{an＋1＋an}是以a1＋a2＝7為首項，3為公比的等比數列，所以an＋1＋an＝7×3n－1，與式①相減得

3.3 反思一般結論

反思4將問題推廣到一般情況，即已知數列{an}的前兩項為a1，a2，且an＝pan－1＋qan－2(n≥3，p，q為非零常數)，求{an}的通項公式．

解設an－san－1＝t(an－1－san－2)，與原式對照得s＋t＝p，st＝q，進而可得即{an＋1－san}是首項為a2－sa1、公比為t的等比數列，所以an＋1－san＝(a2－sa1)tn－1．兩邊同除以sn＋1得疊加得即

3.4 反思問題根源

反思5本題的根來源于著名數列——斐波那契數列，F1＝1，F2＝1，Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)．

解利用一般結論中的求解方法，s＋t＝1，st＝－1，構造一元二次方程x2－x－1＝0，解得s＝代入一般結論中可得斐波那契數列的通項公式

綜上，針對不同的問題，反思的視角往往也不盡相同，教學中教師要有意識地引導學生進行反思，這對學生知識的鞏固及能力的培養都大有益處．

3.5 反思問題的變式

反思6已知數列{an}的前n項和為Sn，n∈且當n≥2時，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1．求數列{an}的通項公式．

解利用反思3中的構造法，將4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，變 形 得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1，即