設定問題情境，提高教學質量
——以高中數學幾何教學為例

◇ 薛玉財

在高中數學中，幾何一直是數學學習的一大難點，據筆者不完全統計顯示，21%的學生對幾何較為了解，28%的學生對幾何沒有學習興趣，6%的學生能夠接受幾何的學習，45%的學生在老師講解下能夠聽懂一些基礎知識．在高中數學學習中，數學的邏輯思維能力和計算能力是比較重要的，其中幾何是高中數學知識的重點和難點．為了幫助學生更好地理解幾何知識，攻克幾何難點，提高學生的學習效率，教師需要在教學過程中設定問題情境，幫助學生探析幾何內容，而合適的教學方法則是幾何教學中的重點．本文以設定幾何的問題情境為例，探析幾何的教學方法．

1 激發學生對幾何的學習興趣

高中階段幾何分為解析幾何和立體幾何兩部分，在進行幾何教學的過程中，幾何問題考查的大部分是基本公式和定理的運用．例題中常出現曲線知識，例如圓、雙曲線、拋物線、橢圓等問題，有的還會運用初中的知識，這就要求教師在教學過程中，注重學生對基礎知識的掌握和運用．幾何知識的掌握都是從點、線、面的認識開始，了解并掌握關于點、線、面的基礎方程式對求解幾何問題是有很大幫助的．

在解析幾何中，以直線方程中兩條直線的位置關系為例，在同一水平面上分別存在兩條直線，但兩條直線運行會出現不同的運行軌跡，分析并討論這兩條直線運行中會出現什么情況，它們的關系又是怎樣的，如何去表達兩條直線的位置關系．在兩條直線運行過程中會出現以下幾種位置關系，如表1．設兩直線的方程分別為或當時，兩直線相交，交點坐標為方程組或的解．

表1

注意1)對于平行和重合的直線，它們的法向量平行．如:(A1，B1)·(A2，B2)＝0．

2)如果兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行；如果一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，則兩直線垂直．

3)對于A1A2＋B1B2＝0來說，無論直線的斜率是否存在，該式都成立．

4)斜率相等時，兩直線平行或重合；但兩直線平行或重合時，斜率不一定相等，斜率有可能不存在．

在教學過程中設定情境問題，讓學生主動觀察并思考，激發學生學習的興趣和熱情．教師講解問題時，由淺入深，由點到面地進行教學，便于學生深入了解．

2 培養學生空間想象能力

立體幾何是比較抽象的，教師進行教學時可以充分利用模型教具，幫助學生構建空間圖形，培養學生的空間想象力．也可以讓學生動手制作空間幾何模型，了解立體幾何，提升空間想象力，不斷提高學生對立體幾何問題的解題能力．

圖1

例1如圖1，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底 面ABCD．

(1)證明:PA⊥BD；

(2)若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

(2)如圖2，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系．則A(1，0，0)，B(0，

圖2

設平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則n·因此可取n＝

設平 面PBC的 法 向 量 為m＝(a，b，c)，則可取，則故二面角A-PB-C的余弦值為

在解決幾何問題時，教師不要直接幫助學生解答問題，需引導學生獨立思考問題，這樣不僅可以降低學生的錯題率，還能培養學生空間想象能力．

3 及時總結，靈活運用

幾何學習中往往會出現很多問題，例如解題方法選擇不對、基礎知識不牢固、知識結構不完整等，這需要學生在遇到問題時及時總結和歸納，做題時規范表述，找出解題規律，通過對問題不斷地總結，攻克難點，提高學習的質量．

例2雙曲線上一點P到右焦點的距離是5，則下面結論正確的是( )．

A．P到左焦點的距離為6

B．P到左焦點的距離為15

C．不存在點P

D．P到左焦點的距離不確定

教學時，發現學生容易出現如下兩種錯誤解法．

錯解1設雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝±10．因為|PF2|＝5，所以|PF1|＝|PF2|＋10＝15，故B正確．

錯解2設P(x0，y0)為雙曲線右支上一點，則|PF2|＝ex0－a，由a＝5，|PF2|＝5，得ex＝10．所以|PF1|＝ex0＋a＝15，故B正確．

正解若|PF2|＝5，|PF1|＝15，則|PF1|＋|PF2|＝20，而|F1F2|＝2c＝26，即|PF1|＋|PF2|＜|F1F2|．這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，可見這樣的點P是不存在的．因此，正確的結論為C．

在幾何教學中，要培養學生學習興趣，養成良好的學習習慣，增強學生空間想象能力，才能提高教學質量．