用好參數(shù)方程與極坐標不容忽視的三個角度

◇ 袁 野 梁海龍

坐標系是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁，是數(shù)形結合的有力工具，借助它可以使數(shù)與形相互轉化．極坐標系是對直角坐標系的補充與延伸，極坐標方程有助于建立距離與角度的關系．參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的另一種表示形式．根據(jù)曲線的特點，選取適當?shù)那€方程的表示形式，可以體現(xiàn)解決問題中數(shù)學方法的靈活性，可以啟發(fā)和引導同學們形成數(shù)學思維．要學好參數(shù)方程與極坐標方程，就要理解每種具體曲線的極坐標方程與參數(shù)方程的幾何意義．本文通過例題從以下三個角度闡述如何用好參數(shù)方程與極坐標方程．

1 方程轉化的等價性

例1在平面直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為為 參 數(shù))，若 以 該 直 角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為(其中t為常數(shù))．

(1)若曲線N與曲線M有2個不同的公共點，求t的取值范圍；

(2)當t＝－2時，求曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離．

錯解(1)因為曲線M的參數(shù)方程為為參數(shù))，所以x2＝1＋sin2β＝1＋y，故曲線M的直角坐標方程為y＝x2－1．又因為則ρsinθ＋ρcosθ＝t(其中t為常數(shù))，所以曲線N在直角坐標系下的方程為x＋y＝t，聯(lián)立方程則由Δ＞0，解得

(2)當t＝－2時，有x＋y＋2＝0，由(1)知，當t＝直線x＋y－t＝0與M相切，故求曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離為

錯因分析錯誤在于忽視了變量轉化中的等價性．

正解(1)因為曲線M的參數(shù)方程為為參數(shù))，所以x2＝1＋sin2β＝則x∈故曲線M的直角坐標方程為y＝x2－1

因為曲線N與曲線M有2個不同的公共點，所以聯(lián)立方程則在上有2個不同的零點，故則因此t的范圍為

(2)當t＝－2時，直線N:x＋y＋2＝0．

極坐標、直角坐標以及直角坐標下的參數(shù)方程是對同一曲線不同形式的表達，有著不同的變量，轉化過程中一定要明確每一步代換的等價性．

2 曲線參數(shù)方程與極坐標方程的意義

例2在直角坐標系xOy中，直線l的斜率為1且過點M(－2，－4)．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

(1)當a＝1時，求曲線C的直角坐標方程；

(2)設 曲 線C與 直 線l交 于A，B兩 點，若求a的值．

錯解(1)C:ρsin2θ－2acosθ＝0，則ρ2sin2θ－2aρcosθ＝0，所以y2＝2ax．當a＝1時，曲線C的方程為y2＝2x．

(2)設直線l的參數(shù)方程為為參數(shù))，設A，B的參數(shù)分別為t1，t2，將l的參數(shù)方程代入y2＝2ax，得t2－(8＋2a)t＋16＋4a＝0，t1＋t2＝8＋2a，t1t2＝16＋4a，由|AB|2＝40，得(t1－t2)2＝40，化簡得a2＋4a－10＝0，解得又因為a＞0，所以

錯因分析該解法錯誤在于第(2)問，錯因主要有兩點:1)錯用直線參數(shù)方程；2)設而不求，沒有檢驗解的合理性．

正解(2)設直線l的參數(shù)方程為為參數(shù))，設A，B的參數(shù) 分別為t1，t2，將l的參數(shù)方程代入y2＝2ax，得

由|AB|2＝40，得(t1－t2)2＝40，化簡得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或1，又因為a＞0，所以a＝1，經(jīng)檢驗當a＝1時，方程①中Δ＞0成立．

直線的參數(shù)方程可以理解為直線l的方向向量為過定點M(x0，y0)，直線上任意一點此時直線l的參數(shù)方程為為參數(shù))，此時|t|表示|MP|的長度，也就是說|t|表示|MP|的長度一個重要的前提是方向向量為單位向量．

例3已知橢圓，直線l交橢圓于A，B兩點，且OA⊥OB，求證為定值．

錯解1橢圓的參數(shù)方程為為 參數(shù))，由圖形的對稱性，不妨設A，B點對應的參數(shù)分別為錯解2由橢圓的極坐標方程為由圖形的對稱性，不妨設A，B點對應的極角分別為

以上兩種做法均無法證明該例題．

錯因分析錯解1中錯誤在于使用了參數(shù)方程中θ角的幾何意義，θ不是偏轉角，而是離心角．錯解2中錯誤在于使用了左焦點為極點的橢圓極坐標方程．兩個錯誤均是對橢圓極坐標方程和參數(shù)方程幾何意義認識不清造成的．

正解以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，可得橢圓的極坐標方程為由圖形的對稱性，不妨設A，B點對應的極角分別為．則

理解曲線不同的方程所代表的幾何意義是合理使用參數(shù)方程與極坐標的基礎．

3 平面幾何知識的運用

例4以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)，且α∈[0，π])，曲線C2的極坐標方程為ρ＝－2sinθ．

(1)求C1的極坐標方程與C2的直角坐標方程；

(2)若P是C1上任意一點，過點P的直線l交C2于點M，N，求|PM|·|PN|的取值范圍．

(2)思路1以直角坐標為中介，將各種曲線轉化為更為熟悉的直角坐標方程來解決．

解法1設P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，當直線l斜率存在時，設l的直線方程為y＝k(xx0)＋y0，聯(lián)立方程得

當直線l斜率不存在時，|PM|·|PN|＝1＋2y0(0≤y0≤1)，所以1≤|PM|·|PN|≤3．

思路2借助直線的參數(shù)方程，由直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題．

解法2設P(x0，y0)，設直線l的傾斜角為β，則l的參數(shù)方程為為 參 數(shù))，M，N對應的參數(shù)分別為t1，t2．

將l的參數(shù)方程代入C2的直角坐標方程，得由l的參數(shù)方程的幾何意義可知

圖1

思路3分析幾何特點，借助幾何特征簡化運算．

解法3如圖1所示，過圓C2的 圓 心C2作C2D垂 直 于PN，垂足為D．由垂徑定理和DM＝DN，

又因為2≤|PC2|2≤4，所以1≤|PM|·|PN|≤3．

本題的第(2)問的3種不同思路，都體現(xiàn)出了轉化思想，雖然思路1與思路2借助不同的方程形式都可以解決問題，但思路3借助幾何性質能更加快速地解決問題，起到事半功倍的效果．