走出定積分的幾個誤區

◇ 彭 暉

數學解題，必須謹防誤區，定積分問題也不例外．那么定積分問題中，有哪些誤區值得我們格外注意呢?為了讓學生防患于未然，筆者歸納如下，供讀者參考．

1 搞錯區間端點

定積分的計算體現無限分割、化整為零的思想，而分割后的每一個小區間必須表達準確．因為這是利用定義求定積分的前提，不可馬虎．

例1求由拋物線y＝2x2與直線x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時，將區間[0，t]等分成n個小區間，則第i－1個區間為( )．

錯解因為從x＝0到x＝t得區間長度為t，平均分成n份，每個小區間長度為所以第i－1個區間為．故選C．

剖析將區間[0，1]等分成n個小區間，則第1個小區間左端點是0，第2個小區間左端點是依此類推，可知第i個小區間左端點是，因此將區間[0，t]n等分后，第i個小區間的左端點為

正解將區間[0，t]分成n個相等的小區間，每個小區間的長度為故第1個小區間為第2個小區間為第3個小區間為，故第i－1個區間的左端點為右端點為故選D．

這其實是一種容易出現的簡單計算錯誤，唯有仔細認真方可避免此類錯誤．

2 錯用定積分的幾何意義

定積分的幾何意義是求曲邊梯形的面積，但它的值卻有正有負，位于橫軸下方部分的定積分的值為負數，作為面積的值應化負為正，這一點也同樣不容忽視．

例2請用定積分表示由y＝cosx和x軸在0與2π之間圍成的平面圖形的面積．

錯解根據曲邊梯形的面積計算和定積分的幾何意義，得所求面積為

剖析畫圖不難發現，所圍成的平面圖形，部分在x軸上方，部分在x軸下方，其定積分值有的為正，有的為負，但面積的值均為正，故求x軸下方的面積時，應將其積分值取絕對值．

正解所求面積的積分可分為三個部分，即[0，根據定積分的幾何意義，所求面積可表示為

當x∈[a，b]時，若f(x)＜0，則由直線x＝a，x＝b，x軸和曲線f(x)圍成的圖形的面積應為

3 忽視積分變量

對于一個含參函數的積分，必須分清哪個變量是自變量，不可張冠李戴．避免此類錯誤，唯有認真審題，不可走馬觀花．

例3

錯解

剖析對于積分變量x來說，被積函數表達式f(x)＝t2＋t為常數，它與f(x)＝x2＋x是不同的．

正解

解決定積分問題時，審題時要注意五點:一要確定好積分變量；二要清楚積分上、下限；三要明確積分的幾何意義，區分積分與平面圖形面積的區別與聯系；四要會用導數尋找原函數；五要用好積分性質和微積分基本定理．只有這樣，才可保證計算不會出錯．

4 被積函數和積分上下限確定不準確

求曲邊梯形的面積，必須要確定所在的位置，也就是被積函數和積分的上限與下限，不可發生半點偏離，否則難保計算準確．

例4求由拋物線y2＝8x(y＞0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成平面圖形的面積．

錯解由，得由x＋y－6＝0，得或舍去)．故所求面積

剖析上述錯解在于沒有仔細分析圖形，導致被積函數搞錯，積分的上下限弄錯．

圖1

正解先作出所圍成平面圖形的示意圖，如圖1所示，由得于是得到拋物線y2＝8x(y＞0)與直線x＋y－6＝0的交點(2，4)．

方法1(選y為積分變量)

方法2(選x為積分變量)

處理較復雜的平面圖形的面積，一般用定積分法，但應注意以下三點:

1)要根據圖形確定積分變量(選x還是y)，并確定好積分上限和下限；

2)要依據積分變量確定被積函數，當積分變量為x時，將圍成平面圖形的上方曲線減去下方曲線，就是被積函數；當積分變量為y時，將圍成平面圖形的右方曲線減去左方曲線，就是被積函數；

3)要找準原函數．