應用之線參數方程解題的幾個關注點

◇ 金玉明

直線的方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式等多種形式，直線的參數方程是同一坐標系中直線方程的另外一種表示形式，其本質是借助參數變量來表示直線上的點．參數方程的引入為解析幾何問題的求解又提供了一種重要的途徑．本文就直線參數方程學習中的關鍵點及其應用進行例析，以供學生學習參考．

1 關注參數t的幾何意義

設直線l過點M0(x0，y0)，傾斜角為

直線l上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離為|t|，若M在M0上方，則t＞0；若M在M0下方，則t＜0；若M與M0重合，則t＝0．因此點M(x，y)的坐標可表示為這就是直線l的參數方程，其中t為參數．應用參數方程中參數t的幾何意義可簡捷處理直線與曲線相交問題中的弦長、弦的中點等問題．

例1在直角坐標系xOy中，拋物線C:y2＝2px(p＞0)，過點(－2，－4)且斜率為1的直線l．設曲線C與直線l交于M1，M2，若求p．

設直線l參數方程為為參數)，設M1，M2的參數分別為t1，t2，將l的參數方程代入C:y2＝2px，得0，Δ＞0，所以

假設直線l與曲線y＝f(x)交于兩個點M1，M2，對應的參數分別為t1，t2，M0(x0，y0)為直線l上一定點，則

2 關注參數方程一般式與標準式的區別

直線l的參數方程為 參 數)，(x0，y0)為直線l所過的定點．若a2＋b2＝1，則為參數方程的標準形式，否則為一般形式，一般方程中的參數，不具有t的幾何意義．欲應用參數t的幾何意義進行解題，需將一般方程化為標準形式．

例2直線l的參數方程為為參數)，直線l與圓C:(x＋3)2＋(y－1)2＝6交于點A，B，求|AB|的值．

將直線l的一般參數方程為參數)化為標準方程，得為參數)．將

本題求解中若直接將l的參數方程為參數)代入圓C:(x＋3)2＋(y－1)2＝6的方程求解，則會得出錯誤結論．一般方程為參數)化為標準方程得

本題的求解也可將直線的參數方程化為普通方程，利用平面幾何知識求解．

3 關注參數方程與普通方程的轉化

直線的參數方程與普通方程之間的轉化具有相互性，解題中并不局限于一定要將參數方程化為普通方程，也可根據題目條件，將普通方程化為參數方程，再利用參數的幾何意義往往可使解題過程化繁為簡．

例3已知曲線C1的方程為x2＋y2＝1(y≥0)，曲線C2的方程為x2＋y2＋2y＝0．若P是C1上任意一點，過點P的直線l交C2于點M，N，求|PM|·|PN|的取值范圍．

方法1設P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2,y2)．若l的斜率不存在，則

若l的斜率存在，設l方程為y＝k(x－x0)＋y0，與C2的方程聯立得

消去y得kx0)2－1＝0．由根與系數的關系得

所以

方法2設P(x0，y0)，l的傾斜角為θ，則l的參數方程為為參數)．設M，N對應的參數分別為t1，t2，將代入C2的方程得

由參數t的幾何意義得所以

方法1直接利用曲線的直角坐標方程進行求解，思路直觀，學生容易想到，但涉及的計算量較大．方法2借助直線的參數方程及參數的幾何意義進行求解，計算簡捷．

總之，直線的參數方程是直線方程的重要組成部分，參數方程的應用不僅提升了學生的解題能力，通過對題目條件的分析、構造參數模型，還培養了學生數學建模的核心素養，從而提高學生的數學應用能力，增強學生的創新意識．