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——賞析定積分的交會命題

◇ 李 勇

定積分是新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容，其基本思想是通過無限分割、近似替代、求和、取極限來達(dá)到計(jì)算的目的．在高考中，往往重點(diǎn)考查運(yùn)用定積分的幾何意義、基本性質(zhì)和微積分基本定理等進(jìn)行積分計(jì)算．定積分的幾何意義是求曲邊圖形的面積，在高考試題或模擬試題中基本都是圍繞這一視角命題的．本文從定積分與其他知識的交會點(diǎn)出發(fā)，賞析其命題亮點(diǎn)．

1 與解析幾何的交會

例1已知拋物線W:y＝ax2經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)，過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線l1，l2．

(1)求W的方程及準(zhǔn)線方程；

(2)當(dāng)l1與W相切時(shí)，求l2與W所圍成封閉區(qū)域的面積．

(1)由于A(2，1)在拋物線W:y＝ax2上，所

圖1

(2)當(dāng)l1與W相切時(shí)，由y′|x＝2＝1，可知l1的斜率為1，所以l2的斜率為－1，所以l2的方程為y＝－x＋3，將其代入W的方程，得x2＋4x－12＝0，解得x1＝2，x2＝－6，所以l2與W圍成封閉區(qū)域的面積(如圖1中陰影所示)為

利用定積分的幾何意義求曲邊圖形的面積時(shí)，通常先在平面直角坐標(biāo)系中畫出被積函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象確定積分的上、下限；最后運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分．需要注意的是某些問題若選擇x作為積分變量求解較為煩瑣時(shí)，可以將y作為積分變量進(jìn)行求解．

2 與概率的交會

例2圖2中的曲線是函數(shù)x≤π)的圖象，在長為2π、寬為2的矩形內(nèi)，任意投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影內(nèi)的概率為( )．

圖2

3 與不等式的交會

例3已知x．證明:

(1)當(dāng)x＞0時(shí)，恒有g(shù)(x)≥f(x)；

(1)略；

圖3

由圖4知，區(qū)間[n＋1，3n＋1]上的2n個(gè)矩形的面積之和大于該區(qū)間上的曲邊梯形的面積，即

圖4

4 與其他學(xué)科的交會

例4行駛在平直的高速公路上的一輛汽車，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)＝7－3t＋25

1＋t(t的單位:s，v的單位:m·s－1)行駛至停止，在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位:m)是( )．

當(dāng)汽車停止時(shí)，v(t)＝0，即0，解得t＝4或(舍去)．所以行駛的距離

本題與物理中的變速直線運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，考查了定積分的應(yīng)用．定積分是研究數(shù)學(xué)、物理等問題的重要工具，它的引入，為解決中學(xué)數(shù)學(xué)、物理中的很多問題提供了簡單有效的方法．

除了本文所述的幾種典型的交會問題以外，還有定積分與向量、數(shù)列等的交會，問題?？汲Ｐ?，但只要我們正確把握定積分的幾何意義，準(zhǔn)確計(jì)算，問題即可順利獲解．