函數(shù)圖形的應(yīng)用問題

◇ 李京林

函數(shù)圖形的應(yīng)用在各級各類考試中出現(xiàn)的頻率越來越高，內(nèi)容可以涉及方方面面．解題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)圖象的變化規(guī)律，利用函數(shù)圖象特征、性質(zhì)對實際問題進行綜合分析．下面結(jié)合幾類常見函數(shù)圖象的應(yīng)用問題加以實例剖析．

1 實際問題中抽象函數(shù)圖象的分析

例1在股票買賣過程中，經(jīng)常用到兩種曲線，一種是即時價格曲線y＝f(x)，一種是平均價格曲線y＝g(x)(如f(2)＝3表示開始交易后第2小時的即時價格為3元；g(2)＝4表示開始交易后2個小時內(nèi)所有成交股票的平均價格為4元)．下面所給出的4個圖象中，實線表示y＝f(x)，虛線表示y＝g(x)，其中可能正確的是( )．

剛開始交易時，即時價格和平均價格相等，排除選項A；開始交易后，平均價格應(yīng)該跟隨即時價格變化，在任何時刻其變化幅度應(yīng)該小于即時價格變化幅度，排除選項B和D．故選C．

在解決與現(xiàn)實生活相關(guān)的函數(shù)圖象問題時，往往通過實際問題在不同情況下所具有的特征，結(jié)合函數(shù)圖象的變化特征加以分析與判斷．

2 運動問題中函數(shù)圖象的判斷題

例2如圖1，點P在邊長為1的正方形ABCD上運動，設(shè)點M是CD邊的中點，當(dāng)點P沿A→B→C→M運動時，點P經(jīng)過的路程記為x，△APM的面積為y，則y＝f(x)的圖象可能是( )．

圖1

當(dāng)點P從A到B運動時，△APM的面積y直線上升，達到最大值；當(dāng)點P從B到C運動時，△APM的面積y逐漸減小．根據(jù)對應(yīng)的圖形，只有A滿足條件，故選A．

對于運動性函數(shù)圖象問題，通過實際函數(shù)圖象考查分段函數(shù)問題，學(xué)會在實際情境中理解函數(shù)關(guān)系，并綜合實際問題與數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系加以分析有關(guān)的圖象問題．

3 函數(shù)圖形與函數(shù)性質(zhì)的交會與綜合問題

例3圖2到圖4展示了一個由區(qū)間(0，1)到實數(shù)集R的映射過程:區(qū)間(0，1)中的實數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點M，如圖2；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A，B恰好重合，如圖3；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為(0，1)，如圖4．圖4中直線AM與x軸交于N(n，0)，則m的象就是n，即記作f(m)＝n．

圖2

圖3

圖4

①f(0．25)＝1；②f(x)是奇函數(shù)；③f(x)在定義域上單調(diào)遞增；④f(x)的圖象關(guān)于點(0．5，0)對稱．由圖4可知，當(dāng)m＜0．5時，f(m)＜0，故①不正確；由于0＜x＜1，f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以f(x)不是奇函數(shù)，故②不正確；當(dāng)點M由點A運動到點B時，點N的運動方式是從－∞運動到＋∞，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)m＝0．5時，f(m)＝0，由圖象知道其是對稱的，即f(x)的圖象關(guān)于點(0．5，0)對稱．故填③④．

實際應(yīng)用中，往往給出一個函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象所表達出來的性質(zhì)確定函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，這也是高考中經(jīng)常涉及的一類有關(guān)函數(shù)圖象的題型，要正確加以分析與應(yīng)用．