基本性質、巧妙應用
——以共軛復數為例

◇ 翟 彬 張竹萍

共軛復數是復數中比較重要且具有獨特性質的一個概念，共軛復數是指兩個復數實部相等、虛部互為相反數．共軛復數的幾何特征是復平面上互為共軛復數的點關于實軸對稱，它的代數特征是互為共軛復數的虛部互為相反數．

1 基本性質

設復數z＝a＋bi(a，b∈R)，則ˉz＝a－bi，共軛復數有以下常用的基本性質:

這些基本性質反映了互為共軛復數的兩個復數之間的聯系，溝通了互為共軛復數的兩個復數等量關系以及復數運算之間的關系．解答某些復數問題時，如果能依據題設條件巧妙地運用這些相關性質，可使許多復數問題簡捷、快速地獲解．

2 巧妙應用

2.1 巧求復數

例1若復數z滿足|z|＝1，且是 負實數，求復數z．

綜上，所求復數z的值是－1或

本題通過共軛復數性質的變形與轉化，巧妙應用因式分解來達到求解復數的目的．

2.2 妙解最值

例2設z∈C且|z|＝1，求函數f(z)＝|z3－z2＋z|的最大值．

由題意可設z＝a＋bi(a，b∈R)，則

直接求解該函數的最值可以通過待定系數法利用復數的運算及相關性質來求解，運算量大，計算復雜，而通過共軛復數的性質加以巧妙轉化與求解，簡單易懂．

2.3 巧妙創新

例3定義:復數b＋ai是的轉置復數，記為z′＝b＋ai；復數a－bi是

(a，b∈R)的共軛復數，記為．給出下列3個命題:其中真命題的個數為個．

由于

③錯誤．

綜上，可知真命題的個數為2．

本題通過創新概念，并結合共軛復數的基本性質與復數運算來綜合考查考生對信息的收集、加工和運用的能力．將新概念與已學過的相應知識聯系在一起運用，是解決此類問題的關鍵．

在解題過程中，經常利用共軛復數及其相關性質對問題進行等價變形、化簡、轉化等，可以使復雜問題簡單化，達到事半功倍的效果．