“作、識、用”三管齊下函數圖像巧掌握

◇ 許 陳

函數圖象是函數的一種表達形式，它形象地顯示了相應函數的本質屬性，在實質上與函數解析式是相同的．函數可以把圖象精確化、細微化，反之圖象能使函數直觀化、形象化．高中對函數圖象的要求有三個方面:作圖、識圖、用圖．作圖是基本能力，識圖是綜合素質，用圖是最終目標．

1 作圖

高中階段主要利用描點法作圖．函數的圖象通常是一些連續的曲線或直線，但有時它也可能是幾段光滑曲線，也可能由一些孤立點或幾段線段組成，還可能由折線或射線來構成．

例1函數f(x)＝x2＋1，試作出對應的圖象，并比較f(－2)，f(1)，f(3)的大小．

圖1

通過描點法作出函數f(x)＝x2＋1的圖象，如圖1．其步驟是列表、描點、連線．注意其中的特殊點(0，1)，這時函數取最小值．

結合圖象的特征，在第一象限內，y隨著x的增大而增大，則有f(1)＜f(2)＜f(3)，容易發現f(－2)＝f(2)，即f(1)＜f(－2)＜f(3)．

掌握函數圖象描點法的三步驟，結合函數圖象中特殊點的大小關系或圖象本身的特點，從“數”與“形”兩個角度出發，判斷不同自變量所對應的函數值的大小關系．畫函數圖象要先求定義域，然后在定義域內找特殊點，比如，端點、斷點和極值點，并注意函數的圖象變化趨勢．

2 識圖

對于給定的函數圖象，要能從函數圖象的分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、最大值、最小值等有關問題．

例2函數的圖象是( )．

所給函數可化為

故對應的圖象為C．

其實本題也可以直接根據函數的定義域{x|x≠0}，結合待選圖象的特征，加以準確識圖作出正確判斷．在解答這類問題時，關鍵是抓住題目相應的量與量之間的對應關系和變化規律，結合初等函數的相應規律進行分析與判斷．

3 用圖

函數圖象形象地顯示了函數的相關性質，為研究數量關系提供了“形”的直觀性，是探求解題途徑、獲得問題結果的重要工具．

例3設x∈R，求函數的最小值．

當0＜x＜1時，函數為反比例函數

圖象的一段；當x≥1時，函數為直線y＝x圖象的一段．從而可得到函數圖象(如圖2)，結合圖象可知，函數的最小值為1．

圖2

此類問題通過數形結合可以非常直觀明了地判斷對應的最值問題．要注意作圖的準確性，特別是端點和分段點的位置，只有保證作圖的準確性，才能準確用圖，為解題帶來方便．

高中數學中，作圖是函數的基本技能之一，通過作圖為識圖和用圖提供直觀依據，而識圖又可以更精確、更有目的地用圖．用好函數圖象是最高目標，可以用來求解函數值、函數定義域、值域等相關問題，也可以用來處理一些與函數性質有關的其他問題．