從CATIA位置矩陣求解歐拉角的計算方法分析

劉成業　汪洋　周穎

【摘 要】本文首先介紹了需要進行位置矩陣求解歐拉角的應用場合，接著對位置矩陣和歐拉角的定義進行了描述。然后推導了從位置矩陣到歐拉角的轉換公式，并提出兩種從位置矩陣求解歐拉角的計算方法，分別為下三角矩陣求解方法和上三角矩陣求解方法。同時說明了上述方法的優缺點及適用條件。最后說明了一類特殊類型的位置矩陣，分析其對應的歐拉角無唯一解的原因并提出相應的求解方法。

【關鍵詞】位置矩陣；歐拉角；計算方法

0 引言

在進行多體動力學仿真時通常需要將三維設計軟件中的數模導入到多體仿真軟件中[1]，以CATIA數模導入ADAMS軟件為例，通常有兩種方法，第一種方法是將零件手動依次導入到ADAMS軟件中[2]。第二種方法是通過SIMDESIGNER軟件將組件導入到ADAMS中[3]。第一種方法首先需將零件的局部坐標系轉換到組件的全局坐標系中并依次手動導入，存在工作量大的問題。第二種方法首先需要購買SIMDESIGNER軟件，同時在實現零件導入的過程中同樣存在著零件名稱與數模不一致的情況[4]。經研究可以對第一種方法進行擴展，通過自動提取CAITA組件中的位置矩陣，接著將位置矩陣轉換為ADAMS中可以識別的歐拉角，最后通過編寫CMD命令實現零件的批量導入，本文僅對上述方法中的位置矩陣轉換為歐拉角的求解方法進行分析求解。

1 位置矩陣和歐拉角的定義及轉換

1.1 CAITA位置矩陣的定義

在CAITA中每個組件都定位在產品的三維坐標系統所確定的三維空間中，位置信息由Position屬性來定義[5]。物體的位置信息由一個長度為12的數組來定義，該數組結構如下所示（設數組變量為M）：

前九個數值組成了一個3x3的矩陣，它描述了物體的旋轉信息[6]，最后3個數值描述了物體的原點位置。整個數組描述了一個相對于絕對坐標的三維坐標（T，U，V，W）系統[7]。

1.2 ADAMS中的歐拉角的定義

根據歐拉轉動定理，剛體在空間旋轉時，其連體坐標系可以相對于自身旋轉后的某個坐標軸旋轉一定角度（剛體固定，Body Fixed），也可以相對于自身原來的坐標系旋轉一定角度（空間固定，Space Fixed）[8]。在旋轉時，可以繞不同的坐標軸旋轉，也可以繞著相同的坐標軸旋轉，這樣就形成了一個旋轉序列，在ADAMS/View中，繞x軸旋轉稱為1旋轉，繞y軸旋轉稱為2旋轉，繞z軸旋轉稱為3旋轉[9]，這樣就可以形成多個旋轉序列（Rotation Sequence），如313、213、123等。如果按照313剛體固定的旋轉序列來旋轉坐標系，則旋轉過程如圖1所示。圖中的旋轉序列稱為剛體固定313旋轉序列[10]，這種旋轉序列的三次旋轉的角度稱為歐拉角。

1.3 歐拉角和位置矩陣的轉換關系

根據空間變換矩陣，剛體固定的313旋轉序列可以描述為下式：

式中α為首次繞z軸旋轉的角度，β為第二次繞x軸旋轉的角度，？酌為第三次繞z軸旋轉的角度。設sinα=u，cosα=v，sinβ=w，cosβ=x，sin？酌=y，cos？酌=z通過上次三次變換得到的位置矩陣應與CAITA中的位置矩陣中旋轉部分矩陣一致，即：

M（0） M（1） M（2）M（3） M（4） M（5）M（6） M（7） M（8）？圳vz-uxy uz+vxy wy-vy-uxz -uy+vxz wz uw -vw x（3）

公式3即為ADAMS軟件中的歐拉角和CATIA軟件中的位置矩陣的轉換關系，通過該公式即可對歐拉角進行求解。

2 歐拉角的求解方法

2.1 下三角求解方法

觀察公式3的左下角較為簡潔，從左下角的對應關系可以得出：

上式可以進一步得到：

由于三角函數的特性，上式得到的α、β、？酌三個值的解存在解的不唯一性，可以將求解得到的幾組歐拉角數值代入公式3中進行驗算即可唯一確定歐拉角的數值。

上述方法的優點是計算簡單，可以迅速通過編程實現自動求解，缺點是若有一個值為零，則上述方法無解。

2.2 上三角求解方法

在下三角求解方法不滿足求解條件的情況下從公式3的右上角對應關系入手，假設vz=l，vy=m，uz=n，uy=p，可以得到方程組：

進而得到：

上述公式可以用來判斷位置矩陣是否正確，從上式可以解出？酌的值進而得到：y，z則u、v可以得到，解出α值，由cosβ=x=M（8）可以解出β的值。與下三角求解方法的情況相同，由于三角函數的特性，上式得到的α、β、？酌三個值的解存在解的不唯一性，可以將求解得到的幾組歐拉角數值代入公式3中進行驗算即可唯一確定歐拉角的數值。

上述方法的優點是計算方法易通過編程實現，在下三角求解方法不滿足適用條件時可以完成計算，缺點是計算公式略微繁瑣，同時當-M（1）-M（8）·M（3）=0且-M（0）+M（8）·M（4）=0時無解。

3 CAITA中特殊類型的位置矩陣

CAITA的位置矩陣中存在著一類特殊的位置矩陣，其對應的歐拉角有無窮多個解，因而采用常規的計算方法無法完成歐拉角的求解。本節對該類矩陣的類型進行描述，分析產生無窮多組解的原因，并提出針對這種矩陣的求解方法。

該類矩陣如式8所示，

由公式3可以得到下列關系：

上式中β的值可以確定，后兩組等式可以轉換為：

4 小結

本文首先推導了從位置矩陣到歐拉角的轉換公式，接著提出下三角矩陣求解方法、上三角矩陣求解方法兩種從位置矩陣求解歐拉角的計算方法，并對兩種方法的優缺點及應用條件進行了闡述，最后說明了一種對應的歐拉角無唯一解的位置矩陣并分析其原因、提出相應的解法。得到的結論如下：

A.歐拉角與位置矩陣的對應關系見公式3。

B.求解歐拉角的下三角的計算方法適用條件為M（5）、M（7）均不為零，該方法計算公式簡單，可通過編程迅速求解。

C.求解歐拉角的上三角的計算方法適用條件為-M（1）-M（8）·M（3）≠0或-M（0）+M（8）·M（4）≠0，該方法作為下三角求解方法不適用時的補充，也可通過編程迅速求解。

D.類似公式8的位置矩陣無唯一對應的歐拉角，上述兩種類型的位置矩陣均可通過假定？酌=0來獲得歐拉角的唯一解。

【參考文獻】

[1]余國權.基于CATIA和ADAMS的減速器參數化設計及仿真[D].大連理工大學，2006.

[2]龔杰.基于CATIA和ADAMS的汽車變速器參數化設計及仿真[D].武漢理工大學，2012.

[3]李偉，趙劍.基于SimDesigner的自卸汽車舉升機構仿真分析[J].山東交通學院學報，2012（02）：1-5.

[4]張萌，王鵬林.MSC SimDesigner在產品設計中的作用[J].計算機輔助工程，2006，（S1）：447-449.

[5]胡添元，余雄慶.基于CATIA二次開發的飛翼外形參數化建模[J].飛機設計.2007（06）.

[6]胡挺，吳立軍編著.CATIA二次開發技術基礎[M].電子工業出版社，2006.

[7]彭歡.基于V5 Automation的CATIA二次開發技術研究[J].電子機械工程，2012（02）：61-64.

[8]尚玫.高等動力學[M].機械工業出版社，2013.

[9]鄭凱，胡仁喜，陳鹿民，等編著.ADAMS 2005機械設計高級應用實例[M].機械工業出版社，2006.

[10]李軍，等編.ADAMS實例教程[M].北京理工大學出版社，2002.

[責任編輯：朱麗娜]