實數完備性定理之間的一個循環推導
2017-07-01 23:28:48周偉松李小柳
科技視界 2017年6期
周偉松 李小柳
【摘 要】極限理論是數學分析的基石，而實數完備性定理又是極限理論的基本理論[1-2]。本文給出了實數完備性六個基本定理的一個循環證明，通過對這六個基本定理的推導可以啟發學生對數學分析的理解和提高學習興趣。
【關鍵詞】實數；確界；完備性；柯西收斂
1 實數完備性定理[1-2]
實數完備性的表述通常有六個定理，本文將給出這六個定理之間的一個循環推導。六個命題表述如下：
命題1（確界存在定理）設S為非空數集。若S有上（下）界，則S必有上（下）確界。
命題2（單調有界定理）在實數系中，有界的單調數列必有極限。
命題3（區間套定理）若{[an，bn]}是一區間套，則存在唯一點ξ，使得
ξ∈[an，bn]，n=1，2，…
命題4（有限覆蓋定理）設H為閉區間[a，b]的一個開覆蓋， 則在H中必存在有限個開區間來覆蓋[a，b]。
命題5（聚點定理）實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點。
命題6（柯西收斂準則）數列{an}收斂的充要條件是：對任給的ε>0，存在正整數N，使得當n，m>N時有|an-am|<ε。
2 一個循環證明[3]
命題1
證明：詳見文獻[1]中第二章定理2.9（第35頁）。
命題2？圯命題3
證明：由于a1≤a2≤…≤an≤…≤bn≤…≤b2≤b1而且{an}為單調遞增的有界數列，依據命題2，{an}有極限ξ，且有
an≤ξ，n=1，2，….（1）
同理，單調遞減的有界數列{bn}也有極限，并且根據區間套的條件 （bn-an）=0有 b = a =ξ，且
bn≥ξ，n=1，2，….（2）
聯合（1-2）式，即得an≤ξ≤bn，n=1，2，….
最后證明ξ是唯一的。不妨設ξ'也滿足
an≤ξ≤bn，n=1，2，….
則有
|ξ-ξ'|≤bn-an，n=1，2，….
由區間套的定義得
|ξ-ξ'|≤ （bn-an）=0，
故有ξ'=ξ。
命題3
證明：可參見文獻[1]中第七章定理7.3（第165頁）。
命題4
證明：設E為有界無窮點集，因此存在M>0，使得E？奐[-M，+M]。由閉區間的聚點均含于該閉區間，故若有聚點，必含于[-M，+M]。
反證法：若E無聚點，即[-M，+M]中任何一點都不是E的聚點，則對于？坌x∈[-M，+M]，必有相應的δx>0，使得U（x；δx）內至少只有點x∈E（若x？埸E，則U（x；δx）中不含E中之點）。所有這些領域的全體形成[-M，+M]的一個無限開覆蓋：
H={（x-δx，x+δx）|x∈[-M，+M]}.
由命題4知，H中可以找到有限個開區間來覆蓋[-M，+M]。記
為[-M，+M]的一個有限開覆蓋，則 也能覆蓋E。由U（x；δx）的構造含意知， 中N個領域至多有N個點屬于E，這與E為無窮點集相矛盾。因此，在[-M，+M]內一定有E的聚點。證畢。
命題5
證明：必要性：若數列{an}收斂，則對任給的ε>0，存在N>0，使得對m，n>N有|am-an|<ε。
設 an=A，由數列極限定義知，對？坌ε>0，？堝N>0，當m，n>N時，有
|am-A|< ，|an-A|< ，
因而|am-an|≤|am-A|+|an-A|< + =ε。
充分性：若對任給的ε>0，存在N>0，使得對m，n>N有|am-an|<ε，則 an=A。
（i）對于ε0=1，存在N0>0，使得對m，n>N0時，有
