重視習題教學中的“點滴發現”

何月豐

在上一期中，我以自己的經歷解讀了美國著名數學家、數學教育家G·波利亞關于習題教學的一個觀點：一個專心的、認真備課的教師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。

接下來，我繼續以波利亞在解題上的觀點為例，敘述我對習題教學的理解。

“一個重大的發現可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發現。”

上面這句話是波利亞在其經典著作《怎樣解題——數學思維的新方法》（以下簡稱《怎樣解題》）一書中的開篇之語。

起初讀到這句話時，對于前半句“一個重大的發現可以解決一道重大的題目”，我能理解和接受，像“哥尼斯堡七橋問題”的故事就可以看成是這樣的現實，翻開數學史，這樣的例子不勝枚舉。即使到小學數學中去看，也很容易就找到這樣的例子，如發現“三角形內角和是180°”之后，就能解決“多邊形內角和”這樣的題目。

但是，對于后半句“在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發現”，就有點讓人費解了。至少以我這樣一名小學數學教師看來，在小學有很多題目不是用來發現的，純粹是為了鞏固理解和熟練技能。比如教學了“分數乘整數”的算理和算法之后，接下來讓學生做兩道計算題，就是為了把那套計算的程序練練熟，何來發現之有？

因為心存不解，所以一直掛念于心，以至于在自己的習題教學中，常常這樣想：這道習題在教學時能讓學生有什么發現嗎？

因為一直這么想著，有一些問題就逐漸清楚起來了。

首先清楚的一點是關于發現者的角色問題。仔細體會波利亞的那句話，特別是理解了他教育思想的宗旨——教會年輕人去思考（《怎樣解題》主要倡導以探索法教學解題），就能理解波利亞是站在解題者的角度看待解題的，即發現是學生的發現。而我在一開始理解這句話時，是站在教學者的角度看待習題教學的，也就是說，當我在教學“分數乘整數”之后布置了兩道計算習題進行練習，是基于我的目標定位來看待學生做這兩道習題的價值的——為了學生計算技能的熟練，自然不會存在發現。角色不同，看法也就不同了。很顯然，此處的發現，當以學生的角色來看待。

其次清楚的一點是對解題的理解。學生在學會了“分數乘整數”的計算方法之后，再做兩道習題能否稱為解題？我相信，以波利亞的觀點，這自然不能稱為解題，只能稱為重復操練。在數學中，解題具有極其重要的地位，具有很強的探索性，并伴隨著發現和創造。如，著名數學家、中國科學院院士王元在《數學與哲學》（張景中著）一書的序言中說：“由于具體的數學問題多如繁星，數學家往往整天埋頭于解決數學問題，無暇關注數學發展中出現的‘矛盾’。”羅增儒教授在《數學解題學引論》的序言中也說：“無論是數學家還是中學生，天天都在解數學題，這種驚心動魄的實踐活動已經產生了驚天動地的數學成果與流芳千古的教育成果。”波利亞《怎樣解題》一書中呈現的“怎樣解題表”，便是對上述理解的最直觀說明。由此可見，做兩道分數乘整數的習題，并不是數學上談論的解題。

最后清楚的一點是小學生的現實情況。由上述分析可以知道，談到解題，往往是中學生、數學家所要面臨的事。數學家解題是為了突破，他們面臨的題，往往是一個未知的數學問題，若能解答，定在解題中有所發現和創造。中學生解題往往是為了“習得”，他們面臨的一般是一道已經被解決過的數學習題，以探索的方式經歷“再發現”“再創造”的過程（當然不是全部習題都這樣，定然也有一部分重復操練的習題）。對于小學生做習題而言，上述談論的一些發現、創造行為，就只能是零零星星體現了，且層次也不夠高，因為小學生的知識基礎和心智能力都尚未達到這個高度。我們仔細對照波利亞的“怎樣解題表”就會明白，里面講到的一些操作，是指要面臨極其復雜、難解的習題時才這樣做，這在小學是很難較好實施的。因此，小學數學教材中編入“怎樣解題表”的相關操作，也進行了簡化，如人教版在低年級采取“知道了什么？→怎樣解答？→解答正確嗎？”這樣三個步驟，高年級采取“閱讀與理解→分析與解答→回顧與反思”這樣三個步驟，不難看出都是基于小學生的實際情況所進行的處理。

有了以上這三點認識，我意識到，如果要將波利亞的觀點——在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發現——在小學中也能較好實施的話，一定要將其進行適當地“兒童化”處理。意識到這一點，也就讓我對波利亞的這個觀點有了自己基于小學生的實際情況的看法。

首先，在小學數學習題教學中，我們要將波利亞的觀點看成是一種理念，而不是一種必然的行為。小學數學作為基礎中的基礎，習題教學的主要任務是鞏固知識和熟練技能，這一點是毋庸置疑的，且這樣的任務占據了習題教學的絕大部分時間。在這樣的現實背景下，結合波利亞的觀點，有兩個方面需要引起我們重視：第一，在利用習題來鞏固知識、熟練技能的過程中，也要適當地利用這些習題來實現“發現”；第二，在小學數學的習題中，定然存在著一些可以專門作為發現的習題，這樣的習題一定要好好利用。對這兩方面的重視，就可以作為一種小學數學習題教學的理念。這種理念并不是要刻意突出“發現”的重要性，而是在強調教師要善于發現并發揮每一道習題不同的價值，特別是在鞏固和熟練的同時伴隨發現，因為這是常常被忽視的。

其次，“點滴的發現”應當成為小學數學習題教學的追求。在上一點中已經提及，即使在小學，例題教學之后，在習題教學中引導學生再有新的發現，這樣的事是客觀存在的。例如學習了長方形的面積計算方法之后，在習題教學中就會引導學生發現“周長相等的情況下，長和寬越接近，長方形的面積越大”這個結論，等學習了圓的面積之后，這個結論還將被進一步修改，即“周長相等的情況，圓的面積最大”。所以，一開始我是太關注“發現”了，認為波利亞觀點中的發現就應該是類似于上述這樣的發現，以至于認為在小學數學的習題中經常有這樣的發現的可能性不大。現在，當我開始重視“點滴的發現”，并以此來作為對波利亞觀點的“兒童化”之后，看法就完全不一樣了。這也就是說，以兒童的眼光來看待發現，一種不同的計算方法可以是發現，一種公式的逆運用也可以是發現，點點滴滴，如此等等。

以上看法的形成，源于自己的實踐與思考。下面的例子，或許可以比較直觀地展現我對“在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發現”這個觀點的“兒童化”理解。

【案例：分數乘整數】

例題：

第一組習題：

如此，“計算結果能約分的要約分”并不是教師的告知，而是學生的發現。

第二組習題：

同樣地，在計算過程中約分這件事教師可以直接告知，但是，用“發現”的方式顯然會更加有意義。

上述例子，便是我一開始認為不可能有發現的情況。舉例上述這樣的教學過程，也只是想說明自己的觀點：重視習題教學中“點滴的發現”，可以看到這樣習以為常的習題解答同樣是存在著發現的現象的。雖然像“發現計算結果是分數的時候能約分的要約分，發現有時候可以在計算過程中約分”這樣的發現真有點無足掛齒，但是從學生的視角來看待，從兒童的視角來看待，這也是了不起的發現。特別是，若能持之以恒地開展習題教學，關注“點滴的發現”，就會培養學生善于觀察、分析、發現的能力。

綜上所述，不難得到這樣的結論：在小學數學習題教學中要實現“在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發現”，關鍵在于教師。教師深刻理解學生、深度把握習題，既重視“周長相等的情況下，長和寬越接近，長方形的面積越大”這樣的重大發現，也重視“計算結果是分數的時候能約分的要約分，有時候可以在計算過程中約分”這樣的點滴發現，就能讓更多學生在更多習題中有更多的發現，從而獲得更好的發展。