以知識應用看數學概念的建構策略
——以“公頃”概念教學為例

費嶺峰

“公頃”作為一個測量土地面積常用單位的學習，人教版教科書是編排在四年級上冊的第二單元。從學習起點來看，學生對“公頃”的認識，有兩個維度的經驗基礎：一是知識儲備基礎，即對面積的認識基礎，面積是指“面”的大小，表現為“二維”的空間感知；二是能力經驗基礎，這也是學生對面積概念理解的數學活動經驗，即如何與長度建立聯系、如何建構起相應的量感等等。

從學習目標來看，我們可以從對“公頃”概念的“認識”水平來考查。常見測評題如填空：5 公頃=（ ）平方米或20000 平方米=（ ）公頃。重點考查“公頃”與同為面積單位的“平方米”間的進率關系，體現的是知識的記憶與技能的簡單應用。還可以從對“公頃”的“理解”水平來考查。可設計成這樣的測評題：在（ ）里填上適當的面積單位，如，動物園的占地面積約是3（ ）。較之前面填空，在知識的認知要求上已經提高了，測查的不僅僅是知識的記憶與簡單應用，還在測查學生對相應面積的量感把握與理解水平。

我區在2019年第一學期小學四年級數學“能力素養”監測卷中，設計了對“公頃”概念“應用”水平的考查。測評題如下：

小敏家有一個長方形農場，面積為3 公頃。這個長方形農場的長可能是（ ），寬可能是（ ）。

給定的分值是每空2 分，共4 分。其測評的意義在于檢測學生對“公頃”這一面積單位的空間感與概念理解的活動經驗這兩個方面的水平狀況，有較大的創新與豐富。主要表現為：以知識的應用，考查學生對“‘公頃’是面積單位”的認知水平（包括“公頃”與“平方米”的轉化，以及圖形面積與長度之間的關系把握）。形式上雖采用的是“填空”形式，但答案卻是開放的，寓本質內涵于多樣的表現形式中，了解學生對概念的建構水平。

【測試數據分析】

此題的基本思路：一個長方形的面積是3 公頃，也就是30000 平方米。長方形的面積=長×寬，現在面積是30000 平方米，也就是說長×寬的積是30000平方米。解答時，只要去想，（ ）米×（ ）米=30000平方米，這里的兩個長度量就是本題的答案。總體抽樣300 份試卷（包括城市實驗學校、城市小規模學校、鄉鎮中心小學、村級完全小學的學生）進行統計，正確人數為110 人，占抽樣人數的36.7%。

正確答案中主要有兩類：

一類答案：長300 米、寬100 米，占抽樣總人數的17%，占正確人數的46.4%，接近一半。

另一類答案：長600 米、寬50 米（或長500 米、寬60 米），占抽樣總人數的11%，占正確人數的30%。

以上兩類答案共占正確人數的76.4%，接近八成，可以認為這兩類答案為基本答案，為一般學生所采用。當然也會有：長200 米、寬150 米，長1000 米、寬30 米或長1500 米、寬20 米，合計占抽樣總人數的4.3%，占正確人數的11.8%。

以上解答的過程，應該屬于比較常規的思路。解答正確，思路也比較清晰。這樣的解答過程，對于“公頃”是個面積單位是理解的，且對于“1 公頃=10000平方米”的認識也比較清楚，而且轉化的技能也掌握得比較好，“3 公頃=30000 平方米”轉化也比較到位，我們可以用“四平八穩”來描述。

【典型答案解析】

接下來就本題解答過程中的兩類典型答案進行解讀與分析。

第一類：值得商榷的答案。

圖1（略）。

答案中，長30000 米、寬1 米（或長10000 米、寬3 米），占抽樣總人數的3.3%，占正確人數的9.1%。

圖2（略）。

答案中，長15000 米、寬2 米（或長5000 米、寬6 米），占抽樣總人數的1%，占正確人數的2.7%。

這樣的答案，在數學層面（也就是我們常說的理論層面）還是相當的簡潔且清晰。結果完全符合數理結論。但從生活角度來思考，卻是不切實際的。此類答案，在評分時沒有扣分，但在數據解讀時，需要提醒教師應該注意進行適當的引導，以使學生在解決生活問題時，應關注問題的現實意義，即解題結果相對符合常理。

第二類：典型的錯誤答案。

對學生的錯誤解答，我們分成了四個水平層次來統計與分析：一是完全錯誤，屬于“零”水平（包括沒做的）；二是直接將“公頃”當作一般的面積單位思考（如平方米等），屬于一級水平；三是轉換成了長度來思考，但把30000 平方米作為周長來計算，屬于二級水平；三是轉換成長度來思考，同時還考慮到長方形的面積是用長×寬來計算的，但結果算錯，屬于三級水平。

歸因分析：

1.“零”水平學生（占比14.7%）：對“公頃”的知識一無所知。如下面學生的答案，不知道是怎樣想的，需要進行訪談才能知曉。

圖1（略）。

圖2（略）。

2.一級水平的學生（占比16.7%）：單位錯誤，主要是指直接將“3 公頃”作為長度來計算，出現兩種情況：一種是長為3 公頃，寬為1 公頃，長方形面積計算方法正確，但對“公頃”是面積概念的認識有誤；還有一種是長為2 公頃，寬為1 公頃，同樣對“公頃”是面積概念的認識錯誤。不包括轉換成了面積單位，最后數據正確，后綴單位寫成“平方米”的學生。

圖3（略）。

圖4（略）。

3.二級水平的學生（占比13.7%）：知道“公頃”是個面積單位，不是長度單位，所以不能直接運算，而是需要轉換成面積單位，即30000 平方米。但最后在計算時，想成了周長的計算方法。如長8000 米、寬7000 米；再如長10000 米、寬5000 米等等。

圖5（略）。

圖6（略）。

4.三級水平的學生（占比18.3%）：思路是正確的，但計算出錯（包括單位寫成了平方米的錯誤）。這種錯誤與計算能力有關，也與學生對面積和長度單位的敏感性不強有關。當然，終究還是對面積單位“公頃”“平方米”與長度單位“米”之間的聯系與區別掌握不到位。

刻槽需要在橋面收漿后進行，通常情況下，橋面刻槽的寬度與深度需要分別控制在3mm、5mm之間，并且刻槽的間距控制在30mm范圍。

圖7（略）。

圖8（略）。

【教學活動設計的建議】

“公頃”和“平方千米”作為常用的土地面積單位。首先屬于“量與計量”內容，其次屬于測量的范疇。因此，教學時需要做好以下幾個層面的引導。

一、“情境問題”引出面積，突出“公頃”作為面積單位的“意義”的理解

教學“公頃”時，應以認識“面積”導入，體會測量土地等較大的面積時，需要用到“公頃”。比如，可以用下面的問題切入：

請選擇合適的面積單位（口答完成）。

1.橡皮正面的面積大約是6（ ）。

2.單人課桌面的面積約是20（ ）。

3.一間教室地面的面積約是50（ ）。

以上三題指名回答后，請學生用手比劃一下面積的大小。然后提出問題：“國家體育場‘鳥巢’的占地面積約是20（ ）”。請學生選擇恰當的單位填入。引導發現：“鳥巢”的占地面積20 后面的面積單位填“平方米”不合適，更不可能填“平方分米”或者“平方厘米”。需要一個比“平方米”還要大的面積單位才能表示出來。今天我們就來認識一個測量土地面積時常用的面積單位——公頃。

這是從舊知復習引入，喚起學生對面積單位的認知經驗，并以一個新的問題引發學生進入學習狀態，新知的引出產生于學生的認知沖突，能夠有效激發學生學習的欲望。

二、“遷移類比”思考問題，引導學生注重面積與長度間關系的理解

面積是測量的結果，測量面積需要面積單位。理解面積單位是認識面積和深入探究面積的重要前提。因此，教學中對公頃單位“1 公頃”的認識，可以設計兩個層次的活動，幫助學生深度建構。

活動一：回憶面積單位的定義。引導學生回憶1平方米、1 平方分米和1 平方厘米等三個面積單位的描述定義，既喚起學生對面積單位“形”的認知，即面積單位一般用“面積是1 個單位”的正方形來表示；同時也喚起學生對面積與長度聯系的經驗，即“邊長是1 米的正方形，面積是1 平方米”“邊長是1 分米的正方形，面積是1平方分米”，這里的1 米和1 分米，即為長度，與之相對應的則是面積單位1 平方米和1 平方分米。這些認知經驗都應該是后續理解“1 公頃”的概念所必需的。

活動二：探討面積單位“1 公頃”的描述。結合以上知識的回顧，告知學生：我們同樣可以用一個正方形來描述“1 公頃”這個面積單位，即“邊長100 米的正方形，面積就是1 公頃”，并請學生說說理解過程。關鍵抓住：邊長1 米的正方形面積是1 平方米；邊長100 米，可以想成1 百米，那么，這個正方形的面積也就是“1 平方百米”。這個活動的目的，在于引導學生將“公頃”與“平方百米”建立聯系，將面積單位公頃納入到平方米、平方分米、平方厘米的認識習慣中，易于學生理解，同時為后續學習“平方千米”積累認知經驗。

三、“面積測量”獲取經驗，重視直觀感知與概念表象的建立

當學生對“公頃”與平方米的關系初步建立后，我們可以設計一個實踐性活動為其積累量感：在操場上畫一個面積是1 公頃的正方形。全班學生一起動手，借助50 米皮尺和標志桿畫1 公頃的正方形。完成后，四個頂點處插上標志桿。然后請學生說說對面積是“1 公頃”的正方形的感受，據此推斷學校的占地面積大約是多少。如果說，前面的學習更多是著眼于數理上的理解的話，實踐性活動的目的則是幫助學生積累直接經驗，形成“1 公頃”的直觀表象。有了相應的直接經驗之后，再輔之以相應的練習，特別是增加一些對實際場所的面積判斷的練習，幫助學生更好地建構“公頃”的概念，深刻理解面積內涵。