“由沙漏想到的……”教學設計

霍燦斌

摘 ? 要：聯想是由一事物想到另一事物的心理過程。學生的數學學習在螺旋上升中逐漸展開，符合學生的認知特點，但這樣的學習使學生對知識的掌握是分散的、割裂的、碎片化的，不利于學生構建系統的知識結構，也不能深入發現知識的內在聯系。通過探討圓柱與圓錐體積之間的關系這一模型，讓學生學會用運動變化的觀點看待問題，發現“變中有不變”的背后的本質，然后讓學生展開類比聯想，進一步體會數學知識之間的內在聯系，從而讓學生的深度學習發生。

關鍵詞：小學數學;類比聯想;數學思想;深度學習

中圖分類號：G623.5 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2020）19/22-0107-04

【教學設計】

教學內容：人教版第十二冊 ?圓柱與圓錐體積擴展課

教學目標：

1.復習鞏固圓柱與圓錐的有關知識，同時以此為模型讓學生展開聯想，復習前面所學知識;

2.培養學生“類比、聯想、歸納”的意識和能力，實現知識從“點狀化”到“結構化”的轉變;

3.善于發現生活中數學的問題，學會用數學的眼光看世界，感受數學的“內在美”。

教學重點：學生猜想、驗證、歸納、推理、聯想能力的培養，深度思考學習問題的能力，體會數學的“變中有不變”的思想。

教學難點：通過對知識進行整理，提高學生的自主探究知識與概括知識的能力。

【教學過程】

一、談話引入

師：同學們認識老師手上拿的這是什么嗎？（沙漏）

然后ppt展示幾個不同形狀的沙漏。

師：同學們知道古人是用它來干什么的嗎？（計時）老師前幾天去飯店吃飯，在餐桌上看到它后，想到這里面不就有我們剛學的有關圓柱和圓錐的知識嗎？回來后就整理一下思路， 然后就有了今天的這一節課，看看老師由這個沙漏想到了什么。（板書課題：由沙漏想到的……）

【設計意圖】《義務教育數學課程標準》明確指出：“數學教學，要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有知識出發，創設生動有趣的情境。”逐步培養學生“用數學的眼光看世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”這一核心素養。

二、聯想之初

【想一想】

師：我們把剛才的沙漏抽象出來，看看這個圓柱里面，上下一樣的兩個圓錐體積和占整個圓柱體積的多少呢（圖1）？請同學們說一說自己的猜想。

【設計意圖】這里沒有數據支撐，主要考察學生分析問題的能力，讓學生充分去表達，同時訓練學生的語言表達能力。

【算一算】

師：剛才的猜想是否正確呢？有的同學還是有疑問，現在我們用事實來說話，我們把它給附上數，如果要附上數，應該需要哪些數據呢？也就是說題目需要知道哪些條件呢？

（讓學生給題目附上數據，并說一下自己的想法）

教師給出一組數（圖2），讓同學們獨立計算，驗證剛才的猜想。

學生展示自己的計算結果，集體核對。

【設計意圖】一是復習圓柱與圓錐體積的計算方法。二是把抽象內容具體化，讓學生進一步印證結論的正確性。

三、深入聯想

【猜一猜】

師：我們沿著圓柱的中心高線調整上下兩個圓錐的高度（圖3），同學們大膽的猜想一下，看看現在上下兩個圓錐體積和與圓柱體積有什么關系？

師：現在請小組內討論一下，看哪些條件變了，哪些條件沒變，說出你的猜想。然后進行推理、驗證，并說出你驗證的方法和理由，每組選出一個代表來展示你們小組討論的結果和驗證的方法。

讓學生充分合作、探究，教師巡視指導，然后找幾組不同思路的驗證方法展示一下。

【設計意圖】這個問題由于又沒有了數據作為支撐，學生不會用字母表示圖中的兩個圓錐的高，學生的思維會受阻，比較困難，部分學生難于獨立解決，所以讓學生組內先討論、交流，旨在讓學生在合作中學會解決問題的方法、學會思考。

【總一總】

教師用幾何畫板動畫演示，我們繼續改變上面小圓錐的高（圖4），猜一猜上下兩個圓錐的體積和與圓柱的體積之間的關系變了嗎？

師：從上面這個例子中你發現了什么？

師總結：剛才大家通過大膽猜想小心驗證，經歷了一次美妙的數學之旅，學會用運動變化的眼光看問題，體會到了“變中有不變”這一數學思想。（板書：變中有不變）

【設計意圖】用工具去驗證剛才猜想的正確性，在心理上接受這一結論的同時，讓學生體會數學“變中有不變”這一數學思想，同時感受數學的“內在美”。

四、拓展聯想

拓展1

師：由剛才的那個模型，我們體會到了數學中“變中有不變”這一思想，那同學們想想我們前面所學內容還有類似的例子嗎？

師：看來這樣的例子不好找，那老師再舉一個例子（圖5）。（出示ppt），這個例子大家肯定不陌生，說一說大圓的周長與3個小圓的周長關系？你能來說明一下理由嗎？（讓組內學生討論交流，然后匯報推理過程）

板書：C=πd1+πd2+πd3

=π（d1+d2+d3）

=πd

【設計意圖】南京大學哲學系教授、博士生導師鄭毓信指出“數學基礎知識的教學，不應求全，而應求聯。”更進一步地，我們在教學中應當很好地突出這樣一個關鍵字：“聯”！這個問題學生并不陌生，是在學習圓的周長時的一個擴展題目，結論學生也都記住了。但是這里筆者主要讓學生體會這個例子和剛才上面的例子在思考問題的方法上相同點，看到事物背后的本質相同點，發現知識的內在聯系。

拓展2

師：說一說圖6陰影部分的面積是整個平行四邊形面積的多少？如果調整“交點”的位置那么圖中陰影部分的面積占整個平行四邊形面積的多少呢？寫出你的推理過程。

師：大家仔細看看圖10，是不是還有相同的結論呢？變中就一定有不變嗎？請同學們討論一下，看看哪些變了，哪些沒變？

【設計意圖】進一步歸納小學數學中“變中有不變”的例子，有了上面的兩個思考問題方法做基礎，學生在證明這個問題時，方法不是什么問題了。在總結出“變中有不變”的思想方法后，但不能讓學生一成不變，要在變中求新、變中求進、變中突破，而固化孩子們的思維，應用發展變化的眼光看問題。

五、放飛聯想

經過剛才幾個例子我們現在再回過頭來看看第一個模型，如果我們這次不在圓柱的中心高線上調整上下兩個圓錐的交點，而是在圓柱的內部任意調整交點的位置（圖11），那么剛才的結論還成立嗎？說說你是怎么想的？

【設計意圖】這個問題不需要嚴格的邏輯證明，只要學生能用學到的方法去思考問題，言之有理即可，同時讓學生更深刻的體會數學的內在美。變中求新、變中求進、變中突破。

六、課堂小結

師：本節課我們總結了通過這堂課，談談你有什么收獲？還有什么困惑？

【設計意圖】讓學生回顧整節課的學習歷程，梳理知識點，學習收獲，感悟數學思想方法的魅力。

七、點評

本課的教學設計巧妙、獨具匠心，而且設計的內容在小學數學的學習中是非常有必要的。

（一）問題情境創設，構思巧妙

教師從一個小小的沙漏而引發探討圓柱和圓錐體積之間的關系，很自然的創設了一個問題情境。有利于學生解決數學內容的高度抽象性和小學生思維的個體形象性之間的矛盾。

（二）創造性利用教材

教材為學生的學習活動提供了基本線索，是實現課程目標、實施教學的重要資源。本課聯系學生的生活實際，從已有的經驗出發，重視學生的體驗。霍老師根據教學目標，把剛剛學到的圓柱和圓錐的體積、以前學過的圓的周長、平行四邊形的面積、三角形的面積等等知識都放在這節課中，使學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動發現圖形的規律，通過小組合作、討論，從不同的角度找到了圖形的規律，體會數學中“變中有不變”這一重要思想。

（三）充分讓學生自主探索、合作交流

心理學研究表明，學生不經過個人親身探索和發現的過程，就想把已知的真理變成學生的真知是不可能的。本節課的教學過程中，力求體現學生是學習的主體，從根本上改變學生的學習方式，盡量發揮學生的能動性，切實讓每一個學生經歷發現規律的過程。另外，在發現規律之后，給學生機會創造規律，體現了數學和生活的緊密聯系，同時培養了學生的創新意識。

（四）在“變與不變”中探究規律

課程改革實施以來，不同版本的教科書都對探索規律的內容進行了合理選擇和精心設計。數學教材中的一些規律、性質或公式，幾乎都可以通過“變與不變”思想方法來引導學生進行探究、發現。“變與不變”是數學學習與日常生活中分析問題、解決問題的一種常用的思想方法。教師要以學生為本，根據學生的發展需要，從整體、本質上理解教材，注重挖掘教材中蘊含的這一教學資源，科學、靈活地設計教學，從而提高學生的思維品質和數學素養。

世界上的事物是千變萬化的，從數學的角度來看，變化中又蘊含著變與不變的因素。其中，如何從“不變中抓變”“變中抓不變”是我們解決問題的突破口，也是重要的數學思想方法之一。小學數學教材中蘊含著許多變與不變的素材，教師鉆研教材時應深入挖掘，并在教學之中無形滲透，有助于培養學生求同又求異的思維品質，幫助學生解決繁瑣復雜的問題，提高學生的數學素養。所以說這節課設計的教學內容在小學數學教學中是非常有必要的，也是非常重要的。

（點評人：滄州市東光縣教研室 劉志強）