基于MATLAB 的超導體異質結構隧穿效應模擬實驗的設計與實踐

李 紅，楊新建，徐志杰，劉 冰，朱化鳳

（中國石油大學（華東） 理學院，山東 青島 266580）

本科生參與科學研究不僅可以在實踐中學習科學研究的方法，對未來的職業(yè)選擇和發(fā)展也具有積極的指導作用。在實驗教學中引入研究型教學項目，是讓本科生參與科研的重要方式，也是本科院校培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的有效途徑[1-3]。

隧穿效應作為一種特有的量子現(xiàn)象，不僅是物理學中一個非常重要的概念，而且在核工業(yè)、電子工業(yè)、納米科技等領域有著廣泛的應用[4]。對其進行研究可以加深學生對微觀粒子波動性的認識，激發(fā)他們的探索欲和學習熱情，但目前的大學物理實驗教學中并沒有與之對應的實驗項目。筆者結合多年的教學和科研實踐，設計了“基于 MATLAB 的超導體異質結構隧穿效應”的研究型模擬實驗教學項目。通過該系列模擬實驗，學生可以自主設計含有超導體的異質結構，運用 MATLAB 編程實現(xiàn)對異質結構隧穿電流和電導等輸運性質的研究。教學內容涉及超導體基本理論、量子力學重要原理以及計算機編程和模擬方法，對提高學生創(chuàng)新實踐能力、培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維、激發(fā)學生從事科學研究的興趣具有促進作用。

1 實驗設計思路

計算機模擬實驗是從事科學研究的一種重要方法，也是近年來輔助教學的一種重要手段[5-7]。本實驗基于 MATLAB 編程軟件，最終實現(xiàn)對微觀粒子隧穿效應現(xiàn)象的計算機模擬。首先讓學生自主查閱超導體異質結構輸運性質研究的相關文獻，了解基本的研究思路和方法。在此基礎上，教師詳細介紹輸運性質研究涉及的基本理論和概念，引導學生設計出合理的超導體異質結構模型。然后學生與教師共同探討，根據(jù)散射矩陣理論，構建出模型的哈密頓量和滿足的能量方程。最后，學生自行運用 MATLAB 編程求解得到描述隧穿粒子波函數(shù)的各種反射幅、透射幅以及系統(tǒng)的隧穿電導和電流表達式；借助 MATLAB 作圖模擬出不同參數(shù)情況下的各種隧穿圖像；并結合文獻的實驗數(shù)據(jù)進行理論分析和討論。

2 模擬實驗設計

2.1 結構模型構建

20 世紀 60 年代初期，Josephson 理論預言了Josephson 效應，Giaever 實驗發(fā)現(xiàn)了超導體中的準粒子隧穿效應, 此后基于超導隧穿效應的實驗研究開展起來[8-10]。研究超導體隧穿效應的典型模型是圖 1 的“三明治”結構，常被稱作“隧道結”。其中的M 和N 可以是正常金屬、鐵磁金屬或者半導體，以及目前的熱點材料石墨烯、硅烯等。M 和N 之間的超導體可以選擇s-波、d-波、p-波、f-波等各種配對形式。參與該實驗項目的學生可以根據(jù)自己的調研情況和研究興趣，選擇材料進行結構設計。本文以正常金屬硅烯基/鐵磁 d-波超導隧道結的輸運性質研究為例開展模擬實驗。

圖1 超導隧道結一般結構模型

2.2 理論模型構建

目前研究超導隧道結常用的理論模型是 Blonder等[11]于 1982 年，在散射理論的基礎上建立的適用于正常金屬/超導體點接觸的隧穿電流公式?；谠摾碚?，正常金屬硅烯基/鐵磁 d-波超導隧道結滿足 DBdG（Dirac- Bogoliubov-de Gennes）方程[12]：

其中，H0是單粒子的哈密頓量，η= 1和-1 分別對應于布里淵區(qū)費米面上的Dirac 點K 和K′，h是鐵磁d-波超導體中的交換能，是隧穿粒子的波函數(shù)，E是隧穿粒子的激發(fā)能，Δ是d-波超導體中的配對勢。

正常金屬/鐵磁 d-波超導隧道結系統(tǒng)中超導體和正常金屬中載流子的波函數(shù)分別為：

其中，te、th和re、rh分別表示電子和空穴的透射系數(shù)、反射系數(shù)，kF是費米波矢，θ是正常金屬層中粒子的隧穿角，φ+和φ-是超導體中電子型庫伯對和空穴型庫伯對的相位因子，u+和u-是電子型庫伯對的相干因子，ν+和ν-是空穴型庫伯對的相干因子，超導體中的相位因子和相干因子分別滿足（4）式中其中λSO是自旋軌道耦合能，l是晶格常數(shù)，Ez是外加電場的能量。

2.3 編程計算方法

式（3）和（4）中的所有系數(shù)需要學生利用MATLAB 編寫程序，通過邊界條件求出。正常金屬硅烯基/鐵磁d-波超導隧道結系統(tǒng)的電導表達式為：

其中，G是隧道結系統(tǒng)的電導，GN是硅烯的彈道電導，分別對應自旋向上和向下的粒子。

3 計算結果模擬與分析

3.1 反射幅和透射幅分析

隧穿現(xiàn)象能否發(fā)生及發(fā)生的程度如何，取決于研究系統(tǒng)中各區(qū)域中的粒子的反射幅和透射幅。超導體存在的異質結構中，一個很重要的物理過程就是Andreev 反射[13]。該過程是一個雙粒子的透射過程，對比圖2 和3 可以看出，Andreev 反射對超導能隙的變化非常敏感。通過對隧穿電子和空穴的正常發(fā)射和Andreev 反射幅度的研究，不僅可以直觀展示隧穿效應的決定因素，而且可以使學生通過研究確定這些因素的影響程度，為設計相關的電子器件積累模擬實驗數(shù)據(jù)。

3.2 隧穿電導分析

隧穿電導是量子隧穿現(xiàn)象的直觀體現(xiàn)，對該物理量的研究可以加深學生對微觀粒子隧穿效應的形象理解。對比圖3 和4 可以看出，超導隧道結隧穿電導的變化趨勢與Andreev 反射相同。這不僅證實了Andreev反射對隧穿電流的重要貢獻，也揭示了該過程的雙粒子實質。通過對不同參數(shù)下隧穿電導的模擬，學生對隧穿現(xiàn)象發(fā)生的物理機制有了更深入的了解，為后續(xù)的科學研究奠定了基礎。

圖2 在不同α下正常反射幅隨外加偏壓的變化

圖3 在不同α下Andreev 反射幅隨外加偏壓的變化

圖4 歸一化電導在不同α下隨外加偏壓的變化

4 結語

通過“基于 MATLAB 的超導體異質結構隧穿效應”這一研究型模擬實驗，使學生從最基本的文獻調研、了解前沿動態(tài)、掌握基礎理論知識開始，建立合理的結構模型和理論模型，再在此基礎上編寫程序，最后實現(xiàn)對所研究問題的計算機模擬，并加以討論。學生在掌握利用計算機模擬從事科學研究的基本方法的同時，若對學科前沿調研得足夠充分，就能夠在前期工作基礎上提出自己的設想，建立新的結構和理論模型，從事真正意義上的創(chuàng)新活動。目前已有學生在國內和國際知名期刊，如《低溫物理學報》《低溫與超導》《Physica C》等上發(fā)表了基于該實驗教學項目的文章。

總之，該實驗項目既豐富了大學物理實驗教學，又將教師的科學研究工作與對學生的培養(yǎng)巧妙地融合在一起，是對大學生參與科學研究的有益探索。