基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器技術(shù)研究

郭 敏，高俊浩

（國(guó)家無(wú)線電監(jiān)測(cè)中心檢測(cè)中心，北京 100041）

0 引言

濾波器的分類方式多種多樣：從通頻帶方面分類，有低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器：從所處理的信號(hào)類型進(jìn)行分類，可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的輸入輸出信號(hào)均是離散的，隨著數(shù)字電路和計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，不同設(shè)計(jì)類型的數(shù)字濾波器在不同場(chǎng)景下得到了廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波器按其沖激響應(yīng)函數(shù)的特性可分為：無(wú)限沖激響應(yīng)IIR（Infinite Impulse Response）濾波器和有限沖激響應(yīng)FIR（Finite Impulse Response）濾波器[1]。IIR數(shù)字濾波器的相位是非線性的，而FIR數(shù)字濾波器有精確的線性相位特質(zhì)，具有非遞歸特性，良好的穩(wěn)定性，較高的精確度。所以，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器在數(shù)字信號(hào)處理、圖像處理、傳輸數(shù)據(jù)等方面，得到了廣泛的應(yīng)用。

常用的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等紋波逼近法[2]。本文以MATLAB為設(shè)計(jì)平臺(tái)，研究分析不同窗函數(shù)對(duì)FIR濾波器設(shè)計(jì)的性能影響，進(jìn)行仿真比較，最后給出了如何根據(jù)實(shí)際需求選擇不同窗函數(shù)的設(shè)計(jì)建議。

1 窗函數(shù)法

傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理的重要工具之一，其作用范圍是正負(fù)無(wú)窮，但是在實(shí)際信號(hào)測(cè)試處理中，無(wú)法采樣和分析無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)，所以只能采取有限長(zhǎng)度的信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和運(yùn)算。因此，可以對(duì)原始時(shí)域信號(hào)hd（n）截取，將截取的部分片段信號(hào)進(jìn)行周期擴(kuò)展，這樣就可以模擬實(shí)現(xiàn)得到一個(gè)虛擬的無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)，后續(xù)再對(duì)其進(jìn)行傅立葉變換和頻譜分析。但是，這樣的截?cái)鄷?huì)帶來(lái)頻譜泄露，使頻譜發(fā)生畸變。所以，需要采用不同的截取函數(shù)w（n）對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)啵梢杂行p少頻譜能量泄露，稱此截取函數(shù)w（n）為窗函數(shù)，可用式（1）表示：

h（n）=hd（n）*w（n） （1）

圖1展示了信號(hào)加窗函數(shù)前后的時(shí)域圖和頻譜圖。如圖1左上方所示，為信號(hào)未加窗函數(shù)處理，對(duì)信號(hào)部分截取后的時(shí)域圖，其頻域圖如圖1右上方所示，有較嚴(yán)重的頻譜泄露現(xiàn)象。圖1左下方的信號(hào)是在對(duì)原始截?cái)嗪蟮男盘?hào)基礎(chǔ)上，做加窗處理得到的時(shí)域圖，其起始時(shí)刻和末尾時(shí)刻幅度均為0，相當(dāng)于加窗后將非周期信號(hào)轉(zhuǎn)換成周期性信號(hào)，然后對(duì)該信號(hào)進(jìn)行傅立葉變換，如圖1右下方所示，與未加窗的頻譜比較，泄漏得到明顯改善，但沒有完全消除。因此，窗函數(shù)可以有效減少頻譜泄漏，但不能完全消除頻譜泄漏。

2 基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器

工程中常用的窗函數(shù)有六種，分別為：矩形窗、三角形窗、漢寧窗、海明窗、布萊克曼窗和凱塞窗[3]。不同窗函數(shù)特性有所不同，對(duì)信號(hào)的頻譜特性影響不一樣。

2.1 窗函數(shù)對(duì)比

圖1 信號(hào)加窗前后時(shí)域圖和頻域圖對(duì)比

2.1.1 矩形窗函數(shù)

矩形窗的定義為：

式中，N為窗的長(zhǎng)度。

其時(shí)域波形圖和頻域波形圖如圖2所示：

圖2 矩形窗及其頻譜特性（N=60）

由圖2所見，矩形窗函數(shù)的主瓣寬度為4π?N，矩形窗主瓣寬度最窄，旁瓣衰減最大[3]，旁瓣峰值比主瓣峰值低13 dB。

2.1.2 三角形窗函數(shù)

矩形窗存在0到1的越變，而三角形窗提供了一個(gè)比較緩慢的變化，其定義為：

其時(shí)域波形圖和頻域波形圖如圖3所示：

圖3 三角形窗及其頻譜特性（N=60）

由圖3可見，三角形窗函數(shù)的主瓣寬度為8π?N，是矩形窗函數(shù)主瓣寬度的兩倍，旁瓣峰值比主瓣峰值低26 dB。

2.1.3 漢寧窗函數(shù)

漢寧窗是一個(gè)升余弦窗，其定義為：

其時(shí)域波形圖和頻域波形圖如圖4所示：

圖4 漢寧窗及其頻譜特性（N=60）

由圖4可見，漢寧窗函數(shù)的主瓣寬度為8π?N，是矩形窗函數(shù)主瓣寬度的兩倍，旁瓣峰值比主瓣峰值低31 dB。

2.1.4 海明窗函數(shù)

海明窗和漢寧窗類似，其定義為：

其時(shí)域波形圖和頻域波形圖如圖5所示：

圖5 海明窗及其頻譜特性（N=60）

由圖5所見，海明窗函數(shù)的主瓣寬度為8π?N，和漢寧窗函數(shù)的主瓣寬度一樣，是矩形窗函數(shù)主瓣寬度的兩倍，但海明窗的旁瓣峰值低于漢寧窗，旁瓣峰值比主瓣峰值低42 dB。

2.1.5 布萊克曼窗函數(shù)

布萊克曼窗函數(shù)和漢寧窗、海明窗類似，但是增加了升余弦的二次諧波分量，其定義為：

其時(shí)域波形圖和頻域波形圖如圖6所示：

圖6 布萊克曼窗及其頻譜特性（N=60）

由圖6所見，布萊克曼窗函數(shù)的主瓣寬度為12π?N，是矩形窗函數(shù)主瓣寬度的三倍，旁瓣峰值比主瓣峰值低58 dB。

2.1.6 凱塞窗函數(shù)

凱塞窗不同于其他窗函數(shù)，是由零階貝塞爾函數(shù)I0構(gòu)成的窗函數(shù)，對(duì)于相同的N，可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)β的值來(lái)選擇不同的過(guò)渡帶寬，其定義為：

其時(shí)域波形圖和頻域波形圖如圖7所示：

圖7 凱塞窗及其頻譜特性（N=60，β=8.5）

由圖7所見，當(dāng)β=8.5時(shí)，凱塞窗旁瓣峰值比主瓣峰值低62 dB。

從時(shí)域看，當(dāng)β越大，窗的寬度越窄，從頻域看，過(guò)渡帶寬隨β的增大而變寬，主瓣的寬度也隨之增加，但頻譜的旁瓣在減小，阻帶最小衰減在增大，通帶內(nèi)更為平坦，如圖8所示：

圖8 不同β值的頻譜特性對(duì)比（N=60，β1=4，β2=8.5）

2.1.7 不同窗函數(shù)對(duì)比總結(jié)

以連續(xù)信號(hào)x（t）=cos（2πf1t）+0.15cos（2πf2t），式中，f1=100Hz，f2=150Hz，采樣頻率fs=600Hz為例，采用矩形窗和布萊克曼窗分別對(duì)其進(jìn)行濾波，結(jié)果如圖9所示：

圖9 采用矩形窗和布萊克曼窗對(duì)信號(hào)濾波結(jié)果對(duì)比（N=80）

（1）由圖9可見，當(dāng)窗的長(zhǎng)度N相同時(shí)，由矩形窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器主瓣寬度最窄，過(guò)渡帶寬最窄，但其阻帶衰減最差，使得其頻率分辨率最精確，幅度分辨率最差；由布萊克曼窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器主瓣寬度最寬[4]，過(guò)渡帶寬也最寬，但阻帶最小衰減最大，使得其頻率分辨率最低，幅度分辨率最精確。由其他窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器性能介于二者之間。

以漢寧窗為例，采用不同的N值，對(duì)上述信號(hào)進(jìn)行濾波，其結(jié)果如圖10所示：

圖10 采用不同N值對(duì)信號(hào)濾波結(jié)果對(duì)比（N1=40，N2=100）

（2）由圖10可見，當(dāng)采用相同窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，主瓣寬度隨著N的增加在變窄，過(guò)渡帶寬隨之在縮小，阻帶最小衰減隨之在變大。因此，當(dāng)濾波器的階數(shù)N值越大，濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)越接近理想的頻率響應(yīng)，抗干擾能力越強(qiáng)。

2.2 窗函數(shù)選擇

綜上所述，由不同窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器對(duì)信號(hào)的濾波效果和頻譜特性有所不同。理想情況下，窗函數(shù)主瓣寬度越窄越好，其頻率分辨率就越精確，越接近理想的頻譜響應(yīng)曲線；旁瓣最小衰減越大越好，其濾除干擾信號(hào)的能力越強(qiáng)，幅值精度就越高。但通常，主瓣寬度的減小是以旁瓣最小衰減的犧牲為代價(jià)的，二者不能兼得。

所以，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，需要根據(jù)測(cè)試信號(hào)的特點(diǎn)和實(shí)際需求來(lái)選擇不同的窗函數(shù)。如果需要測(cè)試出信號(hào)的精確頻率，不需要準(zhǔn)確區(qū)分信號(hào)的強(qiáng)度大小，那么可以選擇主瓣寬度最窄的矩形窗函數(shù)，比如測(cè)量物體的自振頻率；如果存在較強(qiáng)的干擾信號(hào)，需要增大對(duì)其的衰減能力才能分析所需信號(hào)，那么可以選擇旁瓣衰減較大的漢寧窗函數(shù)；如果檢測(cè)近似的兩個(gè)頻點(diǎn)、強(qiáng)度不同的信號(hào)，那么可選擇布萊克曼窗函數(shù)；如果同時(shí)對(duì)幅值精度和頻率精度要求較高的時(shí)候，那么可選擇凱塞窗函數(shù)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器，介紹了窗函數(shù)的定義、加窗的意義、不同窗函數(shù)的性質(zhì)及其對(duì)比、仿真分析不同窗函數(shù)對(duì)濾波器性能的影響，最后給出了在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，如何根據(jù)實(shí)際需求選擇合適的窗函數(shù)，更好地進(jìn)行信號(hào)分析和處理。