淺議試題命制中浮體平衡的穩定性問題

唐建國

(蘇州市胥江實驗中學校 江蘇 蘇州 215004)

在初中物理教學中，有一類關于物體漂浮的習題比較常見，如以下例題：

圖1 例題題圖

由于此類題目綜合考察了二力平衡、阿基米德原理和密度的知識，因此廣受試題命題者的青睞，甚至也常見于各地的中考試卷中.然而讓命題者忽視的是，呈現給學生的示意圖雖然符合二力平衡的條件，卻沒有考慮到漂浮的物體(以下稱浮體)平衡時的穩定性[1].

考慮如圖2(a)所示的一個對稱浮體.在初始狀態，浮體是平衡的，重心C在上，浮力F的作用點浮心D在下，通過CD的連線稱為浮軸.當浮體受到微小的擾動，浮體發生等體積傾斜，即浮體排開液體體積不變，浮力的大小不變，但浮心移至D′點，如圖2(b)所示.此時浮力作用線與浮軸的交點稱為定傾中心，記作M點，當浮體偏轉的角度θ較小時，可以認為定傾中心M點的位置不變.M點至D點的距離MD稱為定傾半徑，記作R.根據流體力學的知識，浮體的穩定性是由浮體的重心C和定傾中心M的相對位置決定的[2].

圖2 對稱浮體

(1)當重心C在定傾中心M之下時，浮力和重力組成一個扶正力矩，如圖3(a)所示，使物體從偏斜位置恢復到原來的平衡狀態，這種情況稱為穩定平衡.

(2)當重心C和定傾中心M重合時，浮體在任何傾斜位置都能保持平衡，如圖3(b)所示，這種情況稱為隨遇平衡.

(3)當重心C在定傾中心M之上時，浮力和重力組成一個傾覆力矩，如圖3(c)所示，浮體無法從偏斜位置恢復到原來的平衡位置，這種情況稱為不穩定平衡.

(a)

圖4 長方體木塊浮于水面

即為

又由于浮力和重力相等，所以

ρ木gBLH=ρ水gBLh

簡化為

代入平衡穩定條件得

根據上式，教師在命制相關習題的時候，要考慮給出的已知物理量要符合浮體的平衡條件的約束.

(1)若木塊是正方體(B=L=H)或者截面是正方形的長方體(L=H)，上式變為

6n(1-n)<1

整理得到：6n2-6n+1>0 解不等式得到

或

只有當n，也就是木塊密度和水的密度的比值滿足上述條件，呈現給學生的木塊的平衡狀態才能穩定.所以，本文一開始給出的題目，木塊的密度與水的密度的比值為0.6，其顯示的平衡狀態是不穩定的，實際實驗中這種平衡狀態下的木塊會很容易傾覆.

即

通過上述討論，教師在命制此類題目時要考慮全面，浮體的平衡既要滿足二力平衡的條件，也要符合平衡穩定性的約束，要讓紙面上呈現給學生的條件、圖能經得起實驗的檢驗.