變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題分析*

邢 杰 張自力 趙長(zhǎng)春 郝會(huì)穎

[中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)數(shù)理學(xué)院 北京 100083]

1 變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題的提出

唐軍杰等人之前研究過(guò)變轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值模擬，在他們的實(shí)驗(yàn)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化都是因?yàn)楦郊訖C(jī)構(gòu)質(zhì)量或質(zhì)量的分布發(fā)生改變引起的[1,2].其實(shí)，在最簡(jiǎn)單的兩剛體系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就已經(jīng)在變化了，如例1所示.

【例1】一定滑輪固定于O點(diǎn)，定滑輪可以看成是一個(gè)質(zhì)量均勻分布的圓盤(pán)，圓盤(pán)半徑為R，質(zhì)量為m1.繩子一端固定并繞在輪軸上，另一端掛一質(zhì)量為m2的物體，自然下垂.繩子的長(zhǎng)度不變，質(zhì)量不計(jì)，繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度.

在這個(gè)問(wèn)題中，一般參考書(shū)的解法有兩種，第一種：隔離法，第二種：整體法.我們先給出這兩種方法.

隔離法：將滑輪m1和物體m2分別做受力分析，然后列動(dòng)力學(xué)方程.對(duì)m1來(lái)說(shuō)，滑輪做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Jm1α，得到

TR=Jm1α

(1)

對(duì)于m2，可以看成質(zhì)點(diǎn)，在本身重力和向上的拉力作用下做豎直向下的直線運(yùn)動(dòng).利用牛頓定律，有

m2g-T′=m2a(T=T′)

(2)

再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

a=Rα

(3)

式(1)～(3)聯(lián)立，可以求出角加速度

整體法：將m1和m2看成一個(gè)整體，這個(gè)系統(tǒng)所受的合外力矩是m2gR，它們?cè)谕饬氐淖饔孟伦龆ㄝS轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)M=J總α，這里轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(4)

代入后，可得

這個(gè)結(jié)果和隔離法的結(jié)果一致.

2 等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的證明與結(jié)論

整體法的處理方法在一些剛體的輪軸問(wèn)題中經(jīng)常能看到[1～4]，但是仔細(xì)考察后發(fā)現(xiàn)式(4)中m2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不好理解.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，m2相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的位置總在變化，為什么可以等效成m2R2這一常量表達(dá)呢？為了解釋清楚這個(gè)問(wèn)題，我們畫(huà)了圖2.

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分析

這個(gè)復(fù)合體系中有兩個(gè)剛體，其中一個(gè)剛體m2相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的位置不斷隨時(shí)間變化，因此我們把總角動(dòng)量L寫(xiě)成兩部分，即

L=Jm1ω1+Jm2ω2

(5)

其中圓盤(pán)m1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm1是一個(gè)常數(shù)，其余參量(ω1，Jm2，ω2)都是時(shí)間的函數(shù)，于是有

(6)

根據(jù)圖2和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，可以得到m2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm2和角速度ω2

(7)

(8)

這里v表示m2的運(yùn)動(dòng)速度，將式(7)和式(8)代入式(6)中，有

(9)

(10)

以上是從物理學(xué)角度導(dǎo)出了例1這一典型運(yùn)動(dòng)模型的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，式(10)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Jα比較可得以下結(jié)論：

圖1 滑輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

在普通物理學(xué)課程中，一般不定義也不講解“等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”的概念，而在機(jī)械原理和機(jī)電一體化專(zhuān)業(yè)課程中，嚴(yán)格定義講解了“等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”的概念并用于機(jī)電工程設(shè)計(jì)中[5].其中“等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”定義的實(shí)質(zhì)和規(guī)則是：一個(gè)由若干個(gè)移動(dòng)(平動(dòng))部件和轉(zhuǎn)動(dòng)部件構(gòu)成的系統(tǒng)，其各部件動(dòng)能之和等于一個(gè)等效的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，這個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

按照以上定義和規(guī)則，可求出圖1所示重物滑輪系統(tǒng)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，過(guò)程為

即有

這就從不同學(xué)科的角度證明了“等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”概念的正確性和合理性.

3 結(jié)束語(yǔ)

有些教材和文獻(xiàn)直接用公式M=(Jm1+m2R2)α來(lái)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算，而且未對(duì)式中m2R2做任何注釋[1,2,4]，這樣很容易讓學(xué)生誤讀，學(xué)生以為Jm1+m2R2就是剛體系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)際總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而且總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不變的.甚至一些教師也這樣認(rèn)為.筆者翻看了近幾年的大學(xué)物理教材，一些教材在處理這類(lèi)輪軸問(wèn)題時(shí)，仍然采用隔離法求解，很少用等效的方法[6～8]，可能也是怕引起誤解.