兩種方法巧解“水池排水時間”問題

張 偉

(重慶市萬州高級中學 重慶 404120)

【例題】如圖1所示，一底面積為S，高為H的圓柱形水池裝滿水(視作理想流體)，在水池底部側面有一橫截面積為S0(S0?S)的小孔(小孔的線度遠小于H)，在只考慮重力的情況下，求水全部流完所需要的時間.(已知重力加速度為g)

圖1 例題題圖

1 競賽層面 用伯努利方程和微積分的方法

由于水從小孔流出導致液面下降，設液面下降的速度為v1,從小孔中流出水的速度為v2(如圖2)，由于液體不可壓縮，在一個極短的時間Δt內滿足

圖2 例題微積分法求解分析

v1ΔtS=v2S0Δt

(1)

解得

(2)

選擇小孔處為零勢能面，某一時刻液面到小孔的高度為h，由伯努利方程得[1]

(3)

式(3)中，P0表示大氣壓，ρ表示水的密度.

由于S0?S，式(2)中v1近似等于零，則可通過式(3)解得

(4)

設在dt時間內，液面高度變化(末態高度與初始高度的差值)為dh(dh<0)，由于液體不可壓縮，則

-Sdh=S0v2dt

(5)

將式(4)代入式(5)，得

(6)

對式(6)兩邊同時積分，得

(7)

得

(8)

解得

2 高考層面 運用能量守恒和平均值法巧解

由前面式(1)、式(2)和S0?S，得v1近似等于零，可認為在極短的時間Δt內，液面下降的高度Δh?h，液面處質量為Δm的一層很薄的水層(如圖3)下降時具有的動能為零.

圖3 例題能量守恒法求解分析

根據能量守恒定律，液面下降時薄水層減少的重力勢能應該轉化為從小孔流出去時水的動能，即

(9)

解得

(10)

式(10)表明，水從小孔流出的速度和物體從高h處做自由落體運動的末速度是一樣的.

圖4 v2-t圖

(11)

由于液體不可壓縮，可得

(12)

將式(11)代入式(12)，解得

3 結束語

本文分別從伯努利方程和能量守恒、平均值法來巧解“水池排水時間”的問題[2].在物理教學中，多和學生進行這樣的分析討論，無論對于提升學生的理論水平、分析能力，還是對于提升學生物理學習的興趣，都能起到較大的推動作用.