對畢奧-薩伐爾定律建立過程中的一種分析方法

楊勝云 蘇立波

(興義民族師范學院物理與工程技術學院 貴州 黔西南 562400)

1 引言

1820年奧斯特發現電流的磁效應[1]，開辟了電與磁之間的聯系，促進了電磁學的開端.奧斯特本人對他的發現只做了定性的研究，定量規律則是由畢奧與薩伐爾師生兩人建立的.他們為了得到電流磁效應的定量表達式，設計了兩個精巧實驗[2，3]，實驗的最終目的是得到電流元對某點磁極的作用力，由于不存在孤立的電流元，使得實驗無法直接測量，于是他們請來拉普拉斯做數學分析[4].對于畢奧-薩伐爾定律建立過程中的實驗以及數學分析，教材中基本不做介紹，文獻[5，6]給出了證明方法，但這種證明方法不太適合初學者了解.在文獻[7]中給出類似于拉普拉斯的分析方法，該分析過程比較繁雜，為此本文將給出另一種分析方法，以較為簡潔的過程得到此定律.

2 畢奧-薩伐爾定律建立的分析過程

畢奧與薩伐爾設計的第二個實驗中，已經得到彎折載流導線對導線外P點的磁極作用力表達式，實驗原理如圖1所示.

圖1 畢奧與薩伐爾的第二個實驗示意圖

按照圖1的實驗，畢奧得到彎折載流導線對P點的磁極作用力的表達式為

(1)

式(1)中I為電流，k為比例系數，由于整條彎折載流導線對P點的磁極作用力垂直紙面向里，所以理所當然地假定每個電流元Idl對P點的磁極作用力也垂直紙面向里，則載流導線對P點的作用力應為電流元對P點作用力在導線上的積分，即

(2)

式(2)中的L為彎折載流導線，由于彎折導線關于虛線對稱，所以式(2)等號左邊的積分可以分解為虛線上半部分積分的兩倍，即

(3)

圖1中的幾何分析如圖2所示.

圖2 彎折載流導線對P點磁極作用力分析圖

圖2中，電流元Idl的尾端所在位置設為A點，B點為電流元Idl的反向延長線上的一點，PB⊥AB,△ABP為直角三角形，設AB邊長為l.由圖2中r與θ確定了電流元Idl與P點的位置關系，則每個電流元對P點貢獻的磁極作用力dF必然是r與θ的函數，令dF中r,θ的函數為H(r,θ)，由等式(2)的關系可得dF正比于電流I，據磁場和力的疊加原理，dF還與電流元長度dl成正比，則

dF=H(r,θ)Idl

(4)

將式(4)代入式(3)中得

(5)

式(5)中只含有未知函數H(r,θ)，r,θ都是變量，需要統一積分變量，由圖2中的幾何關系得

(6)

由式(6)得

dl=l0csc2θdθ

(7)

將式(6)和式(7)代入式(5)得

(8)

由于較遠處的電流元對P點的影響非常小，假定導線兩端無限長，所以θ的積分區間為(π-α)→π.由圖2和式(6)可得θ取(π-α)時r′=r，把r代入式(8)得

(9)

式(9)等號兩邊中的l0，嚴格意義上它是α和r′的函數，這里為了方便運算，令l0為定值，這樣規定并不影響結果.則式(9)的等號兩邊只是α的函數，等號兩邊同時對α求導得

(10)

式(10)中將等號左邊的未知函數的兩個變量分別用r,θ代換，即

(11)

將式(11)代入式(10)得

(12)

將式(12)的H(r,θ)函數代入式(4)得

(13)

再考慮矢量因素，則式(13)改為

(14)

3 總結

畢奧與薩伐爾設計了兩個特殊實驗，卻能夠在從中經過以上嚴格數學分析得到一般結論，可見畢奧與薩伐爾設計實驗的巧妙性.但分析過程并非很容易就可以得到，單從數學的角度看，只是從積分的結果求解微分的過程，由于幾何關系的繁雜，增加了分析過程的難度.為此本文給出嚴格的數學分析方法，并在分析過程中追求方法的簡潔，最終以較為簡潔的方法得到此定律，由此可見數學分析對物理定律建立過程中的重要意義.