讓思維看得見

胡劍

[摘要]數形結合策略可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化。數形結合中，“數”與“形”的信息相互滲透，通過幾何圖形的“翻譯”、數字信息的“轉換”、線段圖的“呈現”、數的特征的“構造”一系列的有意識訓練，使學生思維的廣度、深度、靈敏性與準確性都得到充分的發展，不僅使解題簡捷迅速，還開拓解題思路，讓思維看得見、摸得著。

[關鍵詞]轉化;數形結合;數學思想方法;思維

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 29-0033-03

數學思想方法有很多，數形結合就是其中的一種，它在實踐中的應用是比較廣泛的。一方面，通過圖形的性質將許多比較抽象的數量關系和數學概念簡單化、形象化，增強直觀感;另一方面，把圖形問題轉化為代數問題，可以獲得準確的結論。思維是無形的，數形結合策略能為學生提供恰當的形象材料，可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，讓思維看得見、摸得著。馬云鵬教授說：“數學基本思想是研究數學科學不可缺少的思想，也是學習數學，理解和掌握數學所應追求和達成的目標。”“數學的思想方法是學習數學，特別是解決數學問題所運用的方法。這些方法一般來講是具有一定的可操作性，同時反映數學的某些思想，不是一般意義上的具體方法。”數形結合中“數”與“形”的信息轉換，其實就是一種相互轉化、相互滲透。一線教師要怎樣來搭建“數”與“形”的這座橋呢？不妨通過以下四個途徑來實現。

一、數形結合，可以通過幾何圖形來“翻譯”

人與幾何的關系，可以追溯到幾千年前。人類早期的世界觀，往往是通過幾何來構建的。中國人對世界的理解，可以用方與圓來表示。圓代表了整體和統一，是順從而包容的;方則是圓的推演和發展，包含了秩序和規則。兩千多年前，柏拉圖就說過：“上帝將以幾何的形式永存。”從一點一線開始，以無窮無盡結束。幾何看似簡單，卻能延伸出復雜多變的邏輯。幾何，是實實在在的從“無形”變“有形”。

數學知識來源于現實，又必須符合現實。數形結合，能較好地促進學生聯系實際，靈活解決數學問題。數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來。在解決代數問題時，找準對應知識點“翻譯”成圖形，可啟發思維，找到解題思路。

【例題】有若干臺機器需要在規定的時間內共同完成一項作業。如果增加2臺，只需要規定時間的7/8就能完成;如果減少2臺，則要推遲2/3小時才能做完。問：一臺機器完成這項作業需要幾小時？

【分析與解答】教師先引導學生畫出示意圖（如圖1）。用AB表示原來完成這項工作所需要的機器臺數，用AF表示所需要的時間，因此長方形ABEF的面積就是完成這項作業的工作總量。

師：長方形ABEF的面積與長方形ACDG的面積相等嗎？為什么？（相等，因為工作總量一樣）

師：那么面積①與面積②呢？（也相等）為什么？（同時減去空白部分面積后剩余面積也相等）

（師板書：②的面積=2×7/8，①的面積=（1一7/8）×原來的臺數）

師：現在能算出原來的臺數嗎？請算出來。

生1：2×7/8÷（1一7/8）=14（臺）。

師：用同樣的思維方法算出原時間（如圖2）。

生2：根據①②面積相等很容易列出算式（ 14-2）×2/3÷2=4（小時），從而算出一臺機器完成這項作業需要14x4=56（小時）。

顯然，解決這道題的知識點有兩個：一是等量關系，工作效率×工作時間=工作總量，對應著另外一個等式，長×寬=長方形面積;二是等積變形，工作總量是不變的，面積相等，同時減去相同的面積后也相等。

學生大多趨向定向思維，但這種思維往往會降低解題的速度和質量。因此，引導學生從定向思維走出來，是突破難點的重要手段，教師正確引導就會達到事半功倍的效果。教師在備課時要根據學生的知識基礎、學習習慣，認真設計習題，引導學生進行由數到形的思維轉變，要求學生帶著這種思維去想、去看、去思考。

二、數形結合，可以從數字信息入手來“轉換”

從“數”中提取信息，然后構造成“形”，著眼點還是來自課本基礎知識。教師應指導學生看問題從哪人手、從什么角度看，找出問題內在的規律，怎么從數字信息中來架構這個形，逐步形成由淺人深，將復雜問題簡單化，培養學生數形結合的思想。

【例題】已知五個數依次是13、12、15、25、20，它們每相鄰的兩個數相乘得到四個數，這四個數每相鄰兩個數相乘得到三個數……最后乘得一個數。問：最后這個數的末尾有幾個連續的07

【分析與解答】本題只告訴我們數字信息，如果按要求逐次相乘，求得最后的積后再數出有幾個0，顯然不是個好辦法。本題中，要得到一個0，必須要有一個2和一個5相乘。那么要想知道最后的乘積末尾有幾個0，就必須清楚這個數的因數中有幾個2、幾個5。不妨按如下方法來求。

師：先求有幾個因數2。13的因數中無2，記作“0”;12的因數中有2個2，記作“2”;15的因數中無2，記作“0”;25的因數中無2，記作“0”;20的因數中有2個2，記作“2”。

師：先把所記的結果填入圖3第二行相應的圈內，再按如下的方法操作：因數中不合2的數和含有2個2的數相乘，積中有0+2=2（個）2，因此只要把第二行相鄰兩個數的和填入第三行相應的圈內，第三行相鄰兩個數的和填入第四行相應的圈內，即可以得到最后的積中共有10個2。如圖4所示。

師：再求有幾個因數5。用同樣的方法，最后的積中有15個因數5，如圖5所示。（想一想，第二行是怎么來的？）

于是可以知道，最后的積中有“10”個因數2和“15”個因數5，即這個數的末尾有10個0。

抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。這道題的核心是抓住一共有“幾個2”和“幾個5”，從“數”到“形”畫圖，就是整理這些2和5。從這樣的角度看，學生在解決問題的過程中學會數形結合，用畫圖的策略整理條件和問題，進而分析數量關系，解決問題。數形結合能培養學生的思維能力，幫助學生形成“在抽象中看出直觀”的意識和能力。

三、數形結合，可以借助線段圖來“呈現”

行程問題是小學數學應用題中的一個重要板塊，它可以變化各種各樣的形式，且難度各異。解決這類問題，好的邏輯思維能力非常關鍵。線段圖既可以描述情境，又可以將重要信息進行標注。課堂上，教師可以圍繞教學內容創設疑問，層層推進來觸發學生的情感，激發學生學習的積極性，充分調動學生的參與意識，主動探究數與形應如何轉換。

【例題】甲、乙、丙三人同時從東村向西村行走，甲每小時比乙快6千米，比丙快7.5千米。甲行了3.5小時到達西村，然后立即原路返回，在距離西村15千米處與乙相遇，問：丙行了多少小時和甲相遇？

【分析與解答】首先我和學生一起完成這道題的線段圖（如圖6）。圖的完成非常關鍵。

師：當甲到達A點后返回與乙相遇時，甲比乙多行了多少千米？

生1：15x2=30（千米）。

師：從開始到甲、乙在B點相遇，經過了多少小時？

生2：30÷6=5（小時）。

師：甲行完全程花了3.5小時，再往回行15千米用了幾小時？你現在能算出甲、乙、丙的速度嗎？

生3：5-3.5=1.5（小時）。甲的速度是15÷1.5=10（千米/時），乙的速度是10-6=4（千米/時），丙的速度是10-7.5=2.5（千米/時）。

師：求出總路程。

生4：lOx3.5=35（千米）。

師：丙行了多長時間與甲相遇？為什么這樣求？

生5：35x2÷（ 10+2.5） =5.6（小時）。因為甲和丙從開始到相遇共同走了2個全程。

結合線段圖，通過層層梳理，把一道較難的題分解成5個學生容易理解的基本問題，這樣把課本知識和難題有機地結合起來，讓知識水平較差的學生也能體會到解決難題的喜悅。

線段圖只是將數學信息具體化的一種方式，將數轉化為形的最大好處就是直觀具體。從小學就開始培養學生數形結合的意識，有利于學生養成數形結合的習慣，使之今后即使遇到更加復雜的問題時也不至于手忙腳亂，而是有更多的思路去解決。線段圖仍是揭示小學數學應用題中的數量關系最基本、最自然的手段。對于某些問題，如果線段圖不能清晰地顯示其數量關系，則可以通過對線段圖的分析與改造，設計出能清晰地顯示其數量關系的其他圖形，使解題過程變得更簡潔、更方便。

四、數形結合，可以通過數的特征來“構造”

數形結合解題，實際上是一個“數”與“形”互相轉化的過程，即把題目中的數量關系轉化成圖形，將抽象的數量關系形象化，再根據對圖形的觀察、分析、聯想，逐步轉化成算式，以實現問題的解決。教學中，教師要幫助學生克服思維定式，鼓勵學生大膽合理地進行想象，讓學生充分展現他們的發明和創造，培養他們的獨立思考能力和探索精神，不拘泥于教師教過的一般解題模式，追求新穎的解題方法，能從新的角度、用靈活的方法解決問題。

【例題】計算：1/2+1/4+1/8+ 1/16+1/32 =？

【分析與解答】可以引導學生按如下兩個層次來思考：第一層次，讓學生依據已有的計算經驗，或按從左到右的順序依次計算，或通過把算式中的分數都通分成分母相同的分數算出結果;第二層次，也是最關鍵的思維環節，啟發學生在下面的圖形（如圖7）中表示出算式中的每一個加數。很顯然，這里要通過分數的意義來進行構造。1/2表示把單位“1”平均分成2份，取其中的一份，單位“1”即是圖中大正方形。并且，這5個分數都可以在這個大正方形中找到對應的位置。完成后可以發現，原題中5個分數的和就等于總面積減去剩余面積的差，即1與1/32的差。由此，1/2+1/4+1/8+1/16+=1-1/32=31/32。如此，就使一道相對復雜的異分母分數連加題轉化為能夠直接口算的減法題。

實踐證明，數形結合可以促進學生思維的靈活性和創造性，激發學生的靈感，使之頓悟，獲得較優化的解法。下面的例題也可以用類似的思路解答：

【例題】求1+2+3+4+5+6+7=？

【分析與解答】這道題在初中只要用等差數列公式就可以輕而易舉解決，但小學階段該怎么進行思考呢？不妨也構造圖形來試一試。

這些數都是自然數，根據題意構造圖8，轉化成求正方形的個數之和，圖9也是求正方形的個數之和，把圖8和圖9合并成圖10，這樣拼成一個長方形，容易求得長方形里正方形的個數是（1+7）x7=56，它的一半是56÷2=28。

這里不需要用到等差數列的知識，通過構造圖形，轉化成簡單的求正方形個數。由此，我們還可以繼續強化和延伸：求1+2+3+4+5+-+100=？

多年的教學實踐證明，經過幾何圖形的“翻譯”、數字信息的“轉換”、線段圖的“呈現”、數的特征來“構造”一系列的數形結合訓練，學生思維的廣度、深度、靈敏性與準確性都得到充分的發展，學生的創造性思維也得以培養。這一切也體現了“以教師為主導，學生為主體，導學為主線”的教學思想。南京大學鄭毓信撰文寫道：“相對于‘常規思維的改進，數學思維的學習主要體現了思維發展的新的可能性;當然，在具體從事后一方面的工作時，又應采取更為廣泛的視角，即應當更加重視數學思想和數學思想方法的普遍意義。”教學大綱強調：“小學數學教學要使學生既長知識，又長智慧。”因此，在加強基礎知識教學的同時，要把發展智力和培養能力貫穿教學始終，讓思維看得見，數形結合的思想起著很重要的作用。

[參考文獻]

[1]馬云鵬，關于數學核心素養的幾個問題[J].課程·教材·教法，2015（9）.

[2]鄭毓信.“數學與思維”之深思[J].數學教育學報，2015， 24（1）

（責編吳美玲）