義務教育階段的數學抽象素養及其培養

孔凡哲

教育學博士，中南民族大學教育學院副院長、二級教授、博士生導師，中南民族大學教育碩士學位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國高考數學命題專家，國家義務教育數學課程標準研制組核心成員，高中數學課程標準研制組成員，教育部中學教師專業標準研制組成員、義務教育質量監測專家、教育現代化縣級示范區評估專家、哲學社會科學重大重點項目評審專家;主持完成國家、省部級以上科研項目12項;出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學校科學研究（人文社會科學）優秀成果獎著作獎、教育部第四屆全國教育科學優秀成果獎著作獎、教育部第五屆全國教育科學優秀成果獎著作獎等獎項。

數學抽象是一種特殊的抽象，其特殊性表現為：數學抽象的對象是“空間形式和數量關系”;數學抽象的對象既可以是現實世界中的空間形式和數量關系，也可以是數學思維中的空間形式和數量關系。數學抽象素養是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養，具體表現為：能從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，能從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學語言予以表征。

培養學生的數學抽象素養，必須從數學抽象素養的特點出發，結合相關的數學課程內容有針對性地進行。

一、把握數學抽象的層次性，還原數學抽象過程，培養學生的數學抽象素養

數學教學中，學生親身經歷數學抽象的具體過程，積淀數學抽象的直接經驗，接受數學抽象的思維訓練，才能提升數學抽象思維水平，養成運用數學抽象思維主動思考問題、分析解決問題的習慣，逐步生成數學抽象素養。

第一，日常數學課堂教學中，要長期堅持滲透數學抽象思想。學生的數學抽象素養不是簡單經歷幾次抽象過程就能夠形成的，需要在日常課堂教學中長期堅持、逐級滲透，不宜操之過急。

第二，相同領域課堂教學中，需要反復滲透數學抽象過程，保持不同領域之間的同步性。例如，在“數與代數”領域“認識數”與“學習多位數的計算”時，都可以用小棒與計數器幫助學生實現數學抽象過程?！皵档恼J識”是在靜態層面上的數學抽象過程，“多位數的計算”是在動態層面上進行的數學抽象過程。同時，學習相同領域數學知識時，多次反復經歷數學抽象過程，也有助于學生實現更高層次的抽象。

第三，在不同數學領域的課堂教學時，需要根據各領域特點選擇適宜的方法實現數學抽象過程，體現不同學科領域的各自屬性。例如，學習“平面圖形的認識”時，可以通過用立體圖形的一個面（沾上顏色印在紙上）印、彩描棱（邊），用投影將立體圖形投在墻上，或者用刀切胡蘿卜等方式，幫助學生經歷從立體圖形到平面圖形的抽象過程。這種數學抽象過程與學習計算時的抽象過程是不同的，但“抽象了的東西源于現實世界，是人抽象出來的”卻是相同的。

第四，數學課堂教學中的數學抽象過程要具有層次性。一節數學課要幫助學生經歷數學抽象過程，但這種抽象過程不能僅停留在一個層面，要循序漸進、環環相扣，不同層次的數學抽象過程之間既要有聯系，也要有區別，這樣才有利于促進學生的抽象素養發展。

二、在獲得數學概念和規則中經歷抽象的過程，發展數學抽象素養

數學概念和數學規則都是通過抽象得到的。學生學習數學不僅僅是獲得數學概念、數學規則等事實性的知識和技能，讓學生經歷數學概念、數學規則等抽象過程，還可以培養學生的數學抽象素養。

【案例1】“兩位數加一位數的進位加法”的“十位”的抽象：27+5=？

如圖1，27表示“兩盒雞蛋+一盒不滿的雞蛋”，另有5個雞蛋。一共有幾個雞蛋呢？

借助生活經驗，學生很自然地將5個雞蛋中的3個拿出來，填補在第三盒雞蛋的3個空位上，即將空位補齊，湊成一整盒，剩余2個雞蛋。當然，也有學生會從7個中拿出5個，與5個散裝的雞蛋湊成一盒，剩余2個散的雞蛋。這就是將5分成3與2的和，而3與27湊成30，因而結果是32;或者將7分成5與2的和，而5與5湊成10，因而，結果是32。這是最樸素的“湊十進位”，這里的“一（整）盒”就是最直接、最形象的“十位”，屬于典型的借助“實物”的直接抽象。

初學“兩位數加一位數”時，盡管大部分學生已經知道“個位數字、十位數字分別相加”，但他們并不知道算理——為什么必須這樣計算。讓學生親身經歷“實物抽象（用實物擺出27+5）→半符號抽象（理解算式27+5的意義）→符號抽象（用豎式計算27+5）”的過程，即使是對于那些已經學過“兩位數加一位數的進位加法”的學生來說，也是一次溫習的過程，是一次經歷數學抽象、培養數學抽象素養的過程。

三、在提出數學命題和模型中經歷抽象的過程，發展數學抽象素養

【案例2】一個兩位數自乘規律的發現

個位為5的兩位數自相乘得到的數，一定是個位為5、十位為2、百位與千位是這個兩位數的十位數字與其大1的數字的積。比如，75×75，7與比其大1的數字8之積是56，于是自乘的結果是5625。

其課堂教學設計是：

（1）計算15×15、25×25，你能發現什么規律？

（2）你發現的規律對其他類似問題成立嗎？比如，用45×45驗證你的猜想。

（3）你發現的規律對更一般的形式，比如◆5×◆5成立嗎？這里的◆是1，2，3，…，9中的某個數字。

（4）對于任意一個兩位數◆5，如何驗證你的發現總是成立呢？

此時，繼續采用數字或者自己選定的符號“◆”，就無法與更多的人交流，必須采用字母，比如，用a表示十位上的數字，此時，這個兩位數可表示為簡單代數式10a+5，于是，◆5×◆5就變成了（10a+5）×（10a+5）。能由此驗證你的發現嗎？

上述案例設計的真正意圖在于，在鞏固“兩位數乘兩位數”基本技能的過程中，讓學生再次經歷歸納、猜測的思維過程、推理過程，獲得“個案1、…、個案n→抽象歸納出共性規律，猜測其普適性→驗證自己的猜測→用符號表達一般結論”的直接經驗和體驗，經歷一次“數學家式”的思考，感受智慧產生的過程，體驗創新的快樂，進而真正體會從歸納猜想到演繹論證的過程，感受字母表示數的魅力，發展數學抽象素養。

四、在形成數學方法與思想中經歷抽象的過程，發展數學抽象素養

兩位數加（減）一位數是小學數學一年級下冊最基礎、最重要的單元，常規的復習方法是將相關知識雜亂無章地堆砌在一起（如圖2）。這種方式能讓學生獲得相對系統的知識結構，但他們體會不出其中的規律，感受不出其中所蘊含的思想方法。

將相關內容按照圖3的方式進行復習：先計算各個算式，你發現了什么規律？

學生獨立完成圖3的各式，就會發現，“□1-6=？”在方法的本質上等價于“11-6=？”，從第二行到第九行的所有算式，都可以歸結為第一個算式“11-6=？”，也就是只需要拿出一個整十，用它減6，而其他的整十不動即可。換句話說，“□1-6=？”本質上等價于“11-6=5”，是11=6+5的逆運算。

進行完圖3的獨立計算、合作交流、梳理規律之后，請學生獨立完成圖4（先想一想，再動手做），學生就會發現圖4中的這組算式本質上等價于“13-7=6”，只要計算出一個算式，其余算式都可以迅速完成。

同樣地，在小學一年級上冊“十以內的加法”復習課中，讓學生獨立填寫圖5并尋找規律，學生都能印證a+b=b+a規律的正確性，更重要的是能體會出數學規律的美。

通過具體算式抽象出共性規律，不僅能幫助一年級學生提高計算技能、計算能力，而且能引導他們在經歷數學思想方法的抽象過程中積淀數學抽象的直接經驗，發展數學抽象素養。

五、在認識數學結構與體系中經歷抽象的過程，發展數學抽象素養

在小學數學圖形面積公式的單元教學中，教師組織學生開展如圖6所示的活動：[b][a

1.抽象過程

規定邊長為單位長度1的正方形的面積為一個面積單位，那么，對于長為a、寬為b的長方形（矩形），以面積單位去度量，這個長方形可以被b行、每行a個的面積單位所覆蓋，一共有ab個面積單位，從而，長為a、寬為b的長方形的面積為S=ab。

對于底為a、高為h的平行四邊形，采用切割的方法，沿著高將平行四邊形分割為兩塊，將割下的三角形塊平移到右側，使三角形的斜邊與平行四邊形的另一條斜邊重合。此時，底為a、高為h的平行四邊形就變成了長為a、寬（高）為b的長方形，而且其面積沒有發生改變，從而，底為a、高為h的平行四邊形的面積為S=ah。

對于底為a、高為h的三角形，將三角形旋轉360o，使得旋轉前后的底邊相互平行，將旋轉前后的兩個三角形拼在一起，得到一個底為a、高為h的平行四邊形，它的面積為S=ah。從而，底為a、高為h的三角形的面積為S=ah÷2。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，將其旋轉360o，使得旋轉前后的底邊相互平行，將旋轉前后的兩個等腰梯形拼在一起，得到一個底為a+b、高為h的平行四邊形，它的面積是S=（a+b）h。從而，上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形的面積為S=（a+b）h÷2。

2.類化過程

作為上述過程的逆過程，采用動態軟件體現圖形面積之間的變化，可以充分體現平面圖形面積之間的關聯，再現數學抽象的逆過程（如圖7）。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，變化下底b使其等于上底a，同時，變化高h使其等于上底a，此時，等腰梯形變成邊長為a的正方形，從而面積S=（a+b）h÷2=a2。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，變化腰使得兩條腰垂直于底（此時，下底b等于上底a），等腰梯形變成長為a、寬為b與高h相等的長方形，從而面積S=（a+b）h÷2=ab。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，變化下底b使其等于0，此時，等腰梯形變成底為a、高為h的三角形，從而面積S=（a+b）h÷2=ah÷2。對于半徑為r的圓，將其分割為若干個大小相等的小扇形，每個小扇形可以看作是一個底為圓弧、高為r的“三角形”，所有“三角形”的底圍成一個圓，其周長為[2πr]，從而，圓的面積為S=a1r÷2+a2r÷2+…+anr÷2=（a1+a2+…+an）r÷2=[πr2]。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，變化下底b使其等于上底a，此時，等腰梯形變成底為a、高為h的平行四邊形，從而面積S=（a+b）h÷2=ah。

在上述過程中，學生不僅能夠系統掌握平面圖形的面積公式，認識圖形面積的結構，而且經歷了一次再抽象和類化的過程，發展了數學抽象素養。

責任編輯 ?姜楚華