淺談初中數學中“非負數”的應用策略

摘?要：在初中數學中，”非負數”和方程是一個不可缺少的重要組成部分，從七年級的絕對值開始，非負數一直貫穿到九年級;同時，歷屆中考試題或平時的測試中，非負數和方程既是命題注重的難點又是重點。那么什么是非負數？所謂”非負數”，顧名思義，就是不是負數的數，也就是零和正數或是≥0的數;在數軸上，原點和原點右邊的點所表示的數以及數軸上表示數的點到原點的距離都是“非負數”，這是非負數的幾何意義。

關鍵詞：初中;數學;非負數;應用

在初中數學的教學過程中存在很多影響教學效果的問題，大部分教師將目光放在學生的學習成績上，而忽略培養學生的數學能力，沒有發揮數學教育對培養學生綜合素質的重要作用。初中數學教材中“非負數”知識是在數軸、絕對值、二次根式、方程、方差等概念的教學中建立起來的，非負數的性質在解題中既非常重要又頗為實用。“非負數”的知識設計內容之廣，時間之長是眾所周知的。在教學中必須遵循學生的認知特征和數學學科特性，充分發揮學生學習的主觀能動性，幫助學生積累總結解題規律，提高解決綜合問題的能力，使學生在解題的過程中提高對“數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想，應用意識，創新意識”這十個核心概念的再認識再消化。在教學中教師要樹立新的基礎教育觀、學生觀、教學觀、課程觀、質量觀，幫助學生學會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考世界，會用數學語言表達世界，切實落實數學育人的目標?，F就初中數學中常見“非負數”的應用淺談幾點自己的看法，供大家參考。

所謂”非負數”，是指零和正數?！胺秦摂怠钡男再|在解題中頗有用處。常見的非負數有四種：有理數的偶數次冪、有理數的絕對值和非負實數的偶次方根，用二次根式表示的數。

一、?初中數學中常用的非負數

1.?任意一個實數的絕對值是非負數;我們知道一個正數的絕對值等于它本身;0的絕對值等于0;一個負數的絕對值等于它的相反數，也就是在這個數的前面加個“-”號。即：|a|=a（a≥0）-a（a≤0）

2.?任意一個實數的偶次方是非負數，即：a2n≥0（n是整數）。

3.?任意一個非負數的算術平方根是非負數，即：a≥0（a≥0）;a2=|a|=a（a≥0）-a（a≤0）

4.?一元二次方程ax2+bx+c=0有實數根時，根的判別式是非負數，反過來也成立。

若二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根，則b2-4ac≥0。

若b2-4ac≥0（a≠0），則二次方程有兩個實數根。

5.?數軸上，原點和它的右邊所表示的數是非負數，幾何中的距離，圖形中的線段、面積、體積的量數也都是非負數。

6.?樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數叫做樣本方差，都是非負數。

7.?非負數的性質：

（1）非負數集合里，有一個最小值，它就是零。

（2）如果一個數和它的相反數都是非負數，則這個數就是零。

（3）有限個非負數的和或積仍是非負數。

（4）若幾個非負數的和等于零，則每一個非負數也都只能是零。

二、?非負數的運用

（一）在方程中非負數的直接應用

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有實數根的條件是Δ=b2-4ac≥0，此時為一個非負數。

【例1】?若關于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有實根，則k的取值范圍是（）

A.?k>-74B.?k≥-74且k≠0

C.?k≥-74D.?k>74且k≠0

分析：要確定k的取值范圍，必須先要把方程整理成一元二次方程的一般形式ky2-7y-7=0，再利用一元二次方程有實根的非負數條件Δ=b2-4ac≥0去確定，故答案是B。

【例2】?求證：方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數根。

證明：把方程左邊分組配方，得

（x4+2x2+1）+（x2+2x+1）+4=0

即（x2+1）2+（x+1）2=-4;

∵（x2+1）2>0，（x+1）2≥0，

∴（x2+1）2+（x+1）2>0。

但右邊是-4。

∴不論x取什么實數值，等式都不能成立。

∴方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數根。

（二）在化簡與計算題中的直接應用

【例3】?a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡|c-a|-（b-a）2-|c-b|=。

分析：要化簡代數式，必須根據絕對值和算術平方根的非負性來解。根據數軸看出a<00，b-a>0，c-b<0，所以，原式=c-a-（b-a）+（c-b）=2（c-b）。

（三）在“0+0=0”模式中的應用

由于任何一個實數的絕對值和平方（偶次方）是非負數，一個非負數的算術平方根也是非負數，因此我把“|a|+b2+c=0”就定義為“0+0+0=0”的模式。

1.?在“0+0=0”模式中的直接應用

【例4】?（1）已知|a+3|+b-2=0，求ab的值;

（2）|x+y-1|+（2x-y-5）2=0，求（x+y）2015的值;

（3）已知實數a，b，且（a+b-3）2與2-ab互為相反數，請你求出以a，b為根的一個一元二次方程。

分析：（1）欲求ab的值，必須先要求出a，b的值。因為|a+3|≥0，b-2≥0，故滿足“0+0=0”模式，所以就有a+3=0，b-2=0，即a=-3，b=2，ab=（-3）2=9。

（2）欲求（x+y）2015的值，必須先要求出x，y的值。因為|x+y-1|≥0，（2x-y-5）2≥0，故滿足“0+0=0”模式，所以就有x+y-1=02x-y-5=0，利用方程組的解法，求出x=2，y=-1，（x+y）2015=1。

（3）欲求出以a，b為根的一元二次方程，必須先要求出“兩個根的和與兩個根的積”即a+b和ab的值。因為（a+b-3）2≥0，2-ab≥0，故滿足“0+0=0”的模式，所以就有a+b-3=0，2-ab=0，即a+b=3，ab=2，以a，b為根的一個一元二次方程是x2-3x+2=0。

2.?先將問題轉化成兩個（或有限個）非負數的和再應用

【例5】?（1）已知三角形的三條邊x，y，z滿足x2+y2+z2+338=10x+24y+26z，則這個三角形是什么形狀的三角形？

（2）已知△ABC的三邊a，b，c滿足|a+b-7|+2a-b-2=10c-25-c2，求△ABC的面積。

（3）若a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，試判斷△ABC的形狀。

分析：要得出三角形的形狀和面積，必須要解出三角形各邊的長，這就要根據已知條件想辦法化成“0+0=0”的模式。

（1）移項得x2-10x+y2-24y+z2-26z+338=0，此時等號的右邊等于0了，下面用完全平方公式的特點“首平方，尾平方，首尾積的2倍放中央”把338分解成25+144+169，等號左邊就化成了（x2-10x+25）+（y2-24y+144）+（z2-26z+169）=0，即（x-5）2+（y-12）2+（z-13）2=0，再用“0+0+0=0”的模式解得x=5，y=12，z=13，因為52+122=132，所以這個三角形是直角三角形。

（2）移項得|a+b-7|+2a-b-2+c2-10c+25=0，利用完全平方公式把c2-10c+25寫成（c-5）2的形式，這時就得到了|a+b-7|+2a-b-2+（c-5）2=0，根據“0+0+0=0”的模式得出a+b-7=02a-b-2=0c-5=0，解得a=3，b=4，c=5，因為3，4，5是最簡單的勾股數，所以，以a，b，c為邊的三角形是直角三角形，面積就等于6。

（3）在a2+b2+c2-ab-ac-bc=0中有平方項和乘積項，根據完全平方公式的特點缺少了2倍，因此我們就想到兩邊同時乘2得，2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，再用拆項法得到（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0，這時可以化成（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，根據“0+0+0=0”的模式得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，從而解得a=b=c，這樣就有三角形是等邊三角形。

總之，“非負數”在初中數學中的應用范圍十分廣泛，在教學中，老師應引起足夠重視，善于總結，切忌碎片化的教學。根據學生的知識結構分階段進行針對性的輔導，培養學生的數感和符號意識，特別強調有些題目中非負數比較明顯，有些題目中比較隱蔽，需要化簡、整理，要學會靈活應用。保障學生能夠在不斷的數學實踐以及活動參與的過程之中提高個人的數學核心素養，真正地掌握良好的數學思維能力，實現數學理論知識學習與實踐研究之間的緊密結合，提升學生發現問題，分析問題，解決問題的能力。教師在教學過程中要以發展學生數學素養為追求，根據學生的認知規律，螺旋上升地安排教學內容，特別是要使學生得到反復理解重要的數學概念、思想方法的機會。教師要真正做到理解數學、理解學生、理解教學，夯實學生的“四基”，通過多種教學手段和方法，努力把學生培養成為知識豐富，思維深刻，人性善良，品格正直，心靈自由的人。

作者簡介：

倪永國，新疆維吾爾自治區阿克蘇地區，沙雅縣第五中學。