從“山窮水盡”到“柳暗花明”

賈玉文

在小學數學的各個學段，教材都編排了“解決實際問題”的內容，著力提高學生的問題解決能力。在解決實際問題時，要充分利用教材所提供的豐富素材，使學生學會用數學的眼光觀察生產生活實際，培養學生發現、提出與數學有關的問題以及分析、解決問題的一般性能力。

筆者在教學人教版《數學》六年級上冊第42頁例7的工程問題時，讓學生親自經歷觀察、猜想、推理、驗證等活動，經歷把生活問題模型化的過程，透過各種現實表象，找出隱藏其后的數量關系。鼓勵學生舉一反三，形成一般性的問題解決能力和數學建模的思想。

一、教學案例

（一）條件不足，著手難

師：同學們，前幾天我們學習了關于解決分數的實際問題，誰來簡單談談解答此類問題的思路及方法？

生1：解答分數的實際問題時，我認為最關鍵的是找準單位“1”的量，建立數量關系或等量關系。

生2：如果單位“1”的量是已知的，列出乘法算式即可。

生3：如果單位“1”的量是未知的，一般列方程解答或用除法計算。（一位快嘴的同學說，師生都笑了）

師：看來同學們對這部分內容掌握得很好。好，今天我們繼續學習解決分數的實際問題。

師：（課件出示例7，如圖1）請同學們分析題意，獲取已知數學信息和所求問題。

學生讀題，沉默片刻。

生1：老師，這條路的總長沒告訴，好像不能……（滿臉難為情）

生2：是呀，我也覺得此題奇怪，已知兩個隊的工作時間，要求的也是工作時間。好像缺少條件，我也覺得不能解答。

生3：剛才我瀏覽了課本，這是課本的原題，難道書上也有錯誤嗎？（其他學生笑了）

師：是呀，難道數學家給我們出了一道錯題，讓大家解決？（同學們似笑非笑）對呀，可是題中沒告訴“道路的總長”，怎么辦？

生4：不能算唄！（全班同學笑得非常燦爛）

（二）變換條件，方法多

師：同學們，這道題真得不能計算嗎？（全班同學再次陷入沉思）

生1：我們是否可以假設這條道路的長度呢？

生2：對，好主意！這是數學老師常說的假設法呀。

師：那我們何不嘗試一下？假設道路全長為……

生2：我想假設這條道路全長為x千米。老師常說，我們遇到解答逆思考的問題時，一般是列方程解答。

生3：我想假設道路全長為36千米。

生4：為什么把道路全長設為36千米，不設為其他數值呢？

生3：因為把道路全長設為36千米，除以天數12或18時，都可以除盡，這樣容易理解，也便于計算。

生5：既然這樣的話，能不能把道路全長假設為單位“1”呢？

同學們回答：應該可以！

生6：依據大家的想法，把這條道路假設成任意的長度都可以，說明這道題有無數種解答方法。（同學們半疑半信）

師：數學就是這樣神秘，思考不出來的時候覺得難受，甚至是煎熬，當想出來的時候，做數學題真是人生的一種享受！（同學們高興得笑了）

師：好！現在請大家選擇自己喜歡的數據，嘗試解答這道題。

（三）一波三折，解疑惑

請剛才假設道路不同看法的三位同學上黑板計算，教師巡視。

生3：假設這條道路全長為36千米。

36÷（36÷12+36÷18）=36÷5=7.2（天）

生5：假設這條道路全長為單位“1”。

1÷（+）=1÷= （天）

生5：我設的是道路全長為單位“1”，根據工作總量÷工作時間=工作效率，分別用單位“1”除以一隊和二隊的工作時間，得到一隊和二隊的工作效率分別是全長的和全長的，再用工作總量單位“1”除以一隊和二隊的工作效率和（+），得到兩隊合作完成的時間是天。

生2：老師，我假設道路全長為x千米，列出算式“x÷（x÷12+x÷18）”后，怎么沒法計算呢？我感覺算式也正確呀？（看著前面兩位同學都把得數算出來，這位同學急得請教老師）

師：怎么辦？設道路全長為x千米也不好計算啦？誰愿意幫忙？

有一學生舉手要求板書，把這道題完成。（如圖2）

生7：老師，這種算法怎么這么巧合，正好把算式中的x約去了？但是，感覺非常蹊蹺，它又不像方程，最后還能計算出同樣的結果。

師：你觀察得仔細，思考得深入，提出的問題很有價值。提出一個問題要比解決一個問題更重要！請同學們觀察這道算式哪兒不像方程？

生8：方程解法是根據數量關系建立等量關系，這里沒有等式，所以它不是方程解法。

師：你的思維敏捷，講解得精準到位，這不叫方程解法，這叫代數式法。

下面的同學們竊竊私語，討論“代數式法”。

師：請同學們觀察黑板上的幾種解法，你有何感想？

生9：為什么假設的道路全長不同，算出的合作時間都是相同的呢？

生10：是呀，我也是這么想的。為什么道路全長不論怎么變化，最后的合作時間卻是不變的？

師：這說明合作時間和總路長有關系嗎？

生：沒有關系。（幾乎全班同學說）

師：這個問題中什么東西是不變的？（同學們又陷入沉思）

忽然，一名同學小心翼翼地說：老師，我能到黑板上講嗎？”

師：太好啦。

只見這位同學把前面“生3”的算式稍作修復后，讓同學們觀察三道算式，發現了什么？

1÷（+）

36÷[（+）×36 ]

x÷[（+）×x ]

生11：哦，我發現這條道路的總長不論取值多少，兩隊每天修的長度占總長度的幾分之幾是固定的，所以合作的修路時間也是不變的。

師：大家明白嗎？（部分同學們微微點頭）誰還有不同的理解？

另一同學也走上講臺，用手指著三道算式對比著講解：請大家觀察算式，被除數‘1擴大36倍，除數也擴大36倍，商當然不變;被除數‘1擴大x倍（x≠0），除數也擴大x倍，商也是不會變的，這不正是除法中商不變規律的應用嗎？

教室里響起熱烈的掌聲……

（四）峰回路轉，尋模型

師：看來同學們在解決工程問題時，不僅找到多種算法，還明白了其中的算理，那我們應用剛才學習的方法解決一些生活問題，可以嗎？

生：可以。

師：請同學們打開數學課本的第45頁，完成第9題，老師巡視。（如圖3）

一段時間后，尋找幾位同學上黑板計算。

生1：300÷（300÷8+300÷10）= 300÷67.5 =4 （天）

生2：假設要種40棵樹。

40÷（40÷8+40÷10）=40÷9=4 （天）

生3：假設要種x棵樹。

x÷（x÷8+x÷10）=x÷（+）=x×=4（天）

生4：假設要種的棵樹為單位“1”，5天種樹：

（+）×5=? ?因為 1

生5：假設要種的棵樹為單位“1”。

1÷（+）=4 （天）

生6：? ==4 （天）

“哇塞！這么多種算法？”下面的同學驚奇地說。

師：請大家觀察以上幾位同學的算法，談談你們的想法。

生7：第六種算法我看不懂，方法六的同學能為大家講講嗎？

生6：剛才我看到兩隊每天修的長度占總長度的幾分之幾是固定的，忽然想到：在前面學習分數加減法時，我們總結過分子是1的兩個分數相加的規律：只要將分母相乘的積作分母，分母相加的和作分子，計算后能約分的要約分，這種算法正相當于工程問題的工作效率和。我們把工作總量看作單位“1”，工作總量“1”÷工作效率和=合作時間，所以只要我們求出工作效率和的倒數，就是合作時間。也就是，只要將兩隊單干工作時間的和作分母，兩隊單干時間的積作分子，這樣就能很快求出合作時間，列出算式是：==4（天）。（個別幾人鼓掌）

師：同學們清楚這樣的算法嗎？（沒幾人點頭）

師：如果一隊單干a天完成，二隊單干b天完成，兩隊合干，幾天完成任務？用字母能表示你的想法嗎？（我趁機追問）

生6：兩隊單干時間和作為分母，單干時間積作為分子，用字母表示合干的時間應該是： （天）。

師：同學們明白嗎？（教室里鴉雀無聲）實踐是檢驗真理的唯一標準，我們可以舉例驗證這種算法正確與否，請大家課下驗證他的算法。

二、課后感悟

（一）探討“變中有不變”，抽象數學本質

在總結例7的不同算法時，學生通過假設不同的總路長，發現總路長不同，算出的合作時間都是相同的。于是引導學生思考：合作時間和總路長有什么關系嗎？（沒有關系）為什么總路長改變，得到的合作時間卻是不變的？這個問題中什么東西是不變的？通過交流討論，學生發現“變中有不變”是指：無論道路怎么變化，兩隊每天修的長度占總長度的幾分之幾是不變的。因此，很自然地想到可以把道路長度假設成單位“1”或者其他數據。

讓學生親自經歷這一從具體數量逐步抽象的過程，對于提高學生問題解決的能力至關重要。這時，教師繼續追問：“誰還有不同的理解？”逼著學生發現原來是“應用除法中商不變的性質”這一規律，從學生的表情可以看出，大部分學生完全明白“變中有不變”的真正原因，讓學生實實在在感受到數學知識源于生活，生活問題數學化，也讓數學知識的本質得以升華。

（二）尋找解決問題途徑，體會模型思想

本節課在引導學生尋找多種解題方法的同時，注重加強學生的類比、歸納、抽象及概括等思維能力的訓練。

在教學過程中，讓學生感悟轉化、猜想、推理等基本的數學思想，經歷這樣的基本數學活動過程，遠比給予同學們現成的結論要有效果、有價值。同時，讓學生在親身經歷自主探究、交流討論、解決問題的過程后，掌握并運用了假設、驗證等方法解決問題的基本策略，從而讓學生體會到了抽象數學的建模思想。此外，我們也沒有必要把總長度假設成單位“1”的方法或套用“”方法看成是最優方法，避免學生對解題思路過度單一而思維僵化，形成“套路化”。練習中仍要允許學生不求方法單一性和最優化，但求方法開放性和多樣化，讓不同的學生在解決數學問題上得到不同的發展。為個性化思維的學生提供廣闊的思維空間，從而挖掘學生的潛能，提升學生的創新意識和數學綜合素養。