帶固定效應空間誤差面板數據模型的經驗似然推斷

周 婷,秦永松

(廣西師范大學數學與統計學院,廣西桂林 541006)

1 引言

空間計量經濟學是在區域經濟模型中處理由于空間因素導致的特殊性質的一系列方法[1].空間計量經濟學可應用于區域科學、地理經濟學、城市經濟學等領域,具體來說,如研究區域經濟、房屋價值、人均收入等問題.空間面板數據模型是空間計量經濟學中經典模型之一,它同時考慮了空間相關性和時間依賴性,將傳統的時間序列方法、橫截面數據方法以及普通面板數據模型進行綜合,學者們對此模型也進行了諸多研究.如Elhorst[2]研究了空間面板數據模型的分類和估計問題;Kapoor等[3]研究了誤差項是空間自相關的面板數據模型的參數估計;Yu等[4]研究了帶固定效應空間動態面板數據模型的擬極大似然估計(QMLE);Lee和Yu[5]進一步研究了帶固定效應的空間自回歸面板數據模型的QMLE,并提出正交轉換的間接估計方法;文利霞[6]研究了空間誤差面板數據模型的擬極大似然估計及其漸近性質;戴曉文等[7]基于工具變量法研究了含有個體固定效應的空間誤差面板數據模型參數的分位回歸估計,并與均值回歸方法做比較,結果表明在處理空間面板數據時工具變量回歸估計方法優于均值回歸方法;Qin[8]研究了空間誤差模型的經驗似然估計.由于人為或者客觀原因,我們得到的數據不一定是完整的;Wang和Lee[9]研究了數據隨機缺失情形下空間面板數據模型的廣義矩估計、非線性最小二乘估計和兩階段最小二乘估計估計,并對這三種估計方法得到的結果進行了比較;于力超和金勇進[10]研究了數據缺失機制為非隨機缺失情形的面板數據參數估計方法.

對空間計量模型進行估計,使用比較多的估計方法是(擬)極大似然估計法(如文獻[4,5,11])、廣義矩估計法(如文獻[9,13])、兩階段最小二乘法(如文獻[9,13])等.空間計量模型的理論和應用研究均比較深入且成熟.經驗似然是Owen[14]于1988年在完全樣本下提出的一種非參數統計推斷方法,其是在一定約束條件下將參數似然比極大化,有類似于Bootstrap的抽樣特性.經驗似然方法應用廣泛,可應用于各種統計模型,學者們對經驗似然也進行了諸多研究.Owen[15,16]將經驗似然應用到線性回歸模型的統計推斷;石堅[17]運用經驗似然方法修正了線性相關模型中誤差方差的傳統最小二乘估計,修正后的估計的漸近方差比傳統估計的更小;Cui和Chen[18]將經驗似然應用到線性變量含誤差模型;Kostov[19]研究了空間分位數回歸模型的經驗似然推斷;陳燕紅[20]研究了時間序列模型的經驗似然推斷.據我們所知,目前尚沒有研究面板數據空間計量經濟模型的文獻報導.于是,本文探討空間面板數據模型的經驗似然推斷,在正則條件下構造了空間面板數據模型的經驗似然統計量,證明了該統計量的極限分布為卡方分布.

2 空間面板數據模型

一般的空間面板數據模型[5]

其中Ynt=(y1t,···,ynt)′為n×1維被解釋變量;Xnt為n×k維非隨機解釋變量向量;β為k×1維系數向量.Mn和Wn均為n×n維空間權重矩陣,其中mij為矩陣Mn的(i,j)元素,mii=0;wij為矩陣Wn的(i,j)元素,wii=0.Unt為n×1維固定效應向量.Vnt為自相關誤差項.εnt=(ε1t,ε2t,···,εnt)′為n×1 維隨機擾動項,其分量的均值為 0,協方差為σ2,且獨立同分布.ρ和λ為空間相關系數.在本文中,“′”表示矩陣轉置.

由于t=1,···,T,模型(2.1)可改寫為[1]

(1)當λ=0時,模型(2.2)即為空間滯后面板數據模型

(2)當ρ=0時,模型(2.2)即為空間誤差面板數據模型

3 空間誤差面板數據模型的經驗似然估計

為了完整性,我們重述空間誤差面板數據模型

為了描述方便,我們重新記nT×k維解釋變量向量

記RnT(λ)=InT-λ(IT?Wn),且為nT×nT維向量,為1×nT維向量.假設RnT(λ)可逆,則模型(3.1)可改寫為

其中ε=R(λ)(Y-Xβ-U).被解釋變量Y的擬對數似然函數

其中ε=RnT(λ)(Y-Xβ-U).

令GnT=(IT?Wn)R-1(λ)且均為nT×nT維矩陣,且是對稱矩陣.由文獻[1]可得

令以上偏導數等于0,我們有以下式子

分別用gij和表示矩陣GnT和的(i,j)元素,用bi表示矩陣X′R′(λ)的第i列,用ri表示矩陣R′nT(λ)的第i列.由于X′R′(λ)=(R(λ)X)′,根據X及R(λ)的表達式可知,bi和ri分別為

其中i=1,2,···,nT.

我們規定,當求和符號的上標等于0時我們令該和為0.為將(3.4)式的二次型轉化為線性形式,引入一個鞅差序列[21].定義σ-域:1≤i≤nT.令

令

其中ωi(θ)為(k+nT+2)×1維,為ε=RnT(λ)(Y-Xβ-U)的第i部分.由Owen[15],有

其中γ(θ)∈Rk+nT+2是下面等式的解

(A1)n為無限大常數,T為有限常數[6].

(A3)RnT(λ)為非奇異矩陣.

(A4)矩陣Wn,RnT(λ)元素的絕對值的行和與列和均一致有界.

(A6)存在常數C1,C2,使其中λmin(A),λmax(A)分別表示矩陣A的最小和最大特征值.Σk+nT+2表示如下

注(A1)源于文獻[6],本文考慮n無限而T有限的情形.(A2)和(A3)是空間面板數據模型的常見假設,如Lee和Yu[5],Yu等[4,22].(A3)保證(3.2)的表示方法是有效的.(A4)源于Kelejian和Prucha[21,23],在Lee[13]中也有用到.(A5)和(A6)保證了本文的QnT滿足假設條件C2.

引理1[15]令ξ1,···,ξnT是一個平穩隨機變量序列,且對常數s＞0有E|ξ1|s＜∞,那么a.s.

證見文獻[15]中引理3的證明.

引理2的準備需要用到文獻[21]中的定理1,我們對此定理做以下描述.考慮線性二次型

其中∈ni是(實值)隨機變量,anij和bni分別代表二次型和線性形式的(實值)系數.需要以下假設.

(C1)實值隨機變量序列{∈ni,1≤i≤n,n≥1}滿足E(∈ni)=0,且對每一個n≥1隨機變量∈n1,···,∈nn完全獨立.且存在δ1＞0使

(C2)對所有1≤i,j≤n,n≥1有anij=anji,存在δ＞0,有2

引理2若假設條件(C1)和(C2)成立,且存在常數C＞0滿足則

證見文獻[21]中的定理1.

引理3若假設條件(A1)–(A6)滿足,那么當n→∞時,

證見第四章.

定理1在(A1)–(A6)假設條件下,當n→∞時,有

證令γ(θ)=γ,ρ0=‖γ‖,γ=ρ0η0.下面證明‖γ‖=Op((nT)-1/2).由 (3.10)式,有

即

則有

4 引理3的證明