無限滯后脈沖測度微分方程解對參數的連續依賴性

李寶麟,王轉紅

(西北師范大學數學與統計學院,甘肅 蘭州 730070)

1 引言

Kurzweil[1]于1957年提出的廣義常微分方程理論在處理常微分方程、脈沖微分方程、滯后型泛函微分方程及拓撲動力系統等問題時有重要作用,已被許多作者進行深入廣泛的研究,并取得了一些新的成果[2-4].以下區別于文獻[5],沒有利用常數變易公式而利用Kurzweil-Stieltjes積分理論和正則函數的性質,討論了無限滯后脈沖測度泛函微分方程

解對參數的連續依賴性,所得結果是對文獻[5–6]已有結果的推廣.

方程(1)等價于積分方程

其中G:O×[t0,t0+σ]→Rn關于第一個變量是線性的,f:[t0,t0+σ]→Rn.符號yt:(-∞,0]→Rn,yt(τ)=y(t+φ),φ∈(-∞,0]表示滯后的長度,λ0∈R,ρ＞0,Λ ={λ0∈R:‖λ-λ0‖＜ρ}.為了證明主要的結果,先引入相關的定義和引理及一些符號的說明.

2 預備知識

L(Rn)表示由所有n×n階實矩陣構成的集合,J?R是一個有限或無限的區間,‖·‖表示L(Rn)上的算子范數.對區間[a,b]的任何精細分劃P,使得a=s0＜s1＜···＜si+1=b,若則函數 A(t)在 [a,b]上是有界變差的,BV([a,b],L(Rn))表示所有有界變差函數構成的全體.G*([a,b],L(Rn))表示所有正則函數A(t):[a,b]→L(Rn)的全體.

設O?G*((-∞,t0+σ],Rn)是一個開集且具有以下性質(延拓性質):如果y=y(t),t∈[t0,t0+σ]及∈[t0,t0+σ],那么(t)∈O且

顯然,當y∈O?G*((-∞,t0+σ],Rn)時,對任意的t∈[t0,t0+σ]都有xt∈G*([-r,0],Rn).

定義2.1設G:Ω→Rn,Ω?O×[t0,t0+σ].稱函數x:[α,β]→Rn為Kurzweil廣義常微分方程

在區間 [α,β]上的一個解是指對所有的t∈[α,β],(x(t),t)∈G,有

成立,其中右端積分是函數U(τ,t)=G(x(τ),t)在[s1,s2]上的Kurzweil積分.當(3)式中的G(x,t)=A(t)x+g(t)時,稱為Kurzweil廣義線性常微分

引理2.2[2]設A∈BV([a,b],L(Rn)),g∈G*([a,b],Rn),稱x:[a,b]→Rn為廣義線性微分方程

滿足初始條件x(t0)=x0∈X在區間[a,b]上的解,是指對任意的t∈[a,b],有

且x∈G*([a,b],Rn).

引理2.3[5]若g,gn∈G*([a,b],Rn),A,Ak∈BV([a,b],L(Rn)),對每個k∈N且

3 解對參數的連續依賴性

即y0為方程(17)的解,從而定理得證.

注定理3.1主要是對無限滯后脈沖測度微分方程解對參數的連續依賴性結果的證明,其結果是文[5–6]中相應結果的推廣.當然,我們也可借助Φ-有界變差函數理論與Kurzweil方程理論建立方程(2)的Φ-有界變差解對參數的連續依賴性定理.