單無(wú)限馬氏環(huán)境下可列齊次馬氏鏈的一類強(qiáng)偏差定理

石志巖,周 紅,丁承軍

(江蘇大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

1 引言

令

稱fn(ω)為{(Xn,ξn),n≥0}的熵密度,其中l(wèi)n是以e為底的自然對(duì)數(shù).

定義 1設(shè)是定義在可測(cè)空間(Ω,F)上分別取值于Θ和χ的隨機(jī)變量序列.設(shè)Q為可測(cè)空間(Ω,F)上的另一個(gè)概率測(cè)度,若對(duì)任意x,y∈χ,n∈N+,有

則稱在概率測(cè)度Q 下為單無(wú)限隨機(jī)環(huán)境下的馬氏鏈.特別地,若是馬氏鏈,則稱在概率測(cè)度Q下為單無(wú)限馬氏環(huán)境下的馬氏鏈.

易知,若在概率測(cè)度Q 下為單無(wú)限馬氏環(huán)境下的馬氏鏈,則{(Xn,ξn),n≥0}在概率測(cè)度Q 下是馬氏雙鏈[1].特別地,若{ξn,n≥0}是初始分布為p′(θ0),轉(zhuǎn)移概率為K(θ,α)的馬氏鏈,則在概率測(cè)度Q下,{(Xn,ξn),n≥0}是一個(gè)具有初始分布

和轉(zhuǎn)移矩陣

的馬氏雙鏈.設(shè){(Xn,ξn),n≥0}在概率測(cè)度Q下的有限維分布為

在鼻胃鏡可通過(guò)狹窄病變的病例中，利用鼻胃鏡成功輔助完成46例消化道狹窄內(nèi)鏡下治療，成功率100%。在食管癌中，行16例支架置入/調(diào)整術(shù)，2例光動(dòng)力治療；食管術(shù)后吻合口狹窄中，行5例支架置入術(shù)，2例吻合口狹窄擴(kuò)張術(shù)，1例引流管置入術(shù)，1例光動(dòng)力治療術(shù)；食管外壓性狹窄中，行1例支架置入術(shù)；食管不明原因性狹窄中，行1例擴(kuò)張術(shù)。胃癌中，行7例支架置入術(shù)，1例腸梗阻導(dǎo)管置入術(shù)；胃術(shù)后吻合口狹窄中，行2例支架置入術(shù)，1例營(yíng)養(yǎng)管置入術(shù)。結(jié)直腸癌中，行4例支架置入術(shù)，2例腸梗阻導(dǎo)管置入術(shù)(表6)。

易知,若{(Xn,ξn),n≥0}在概率測(cè)度Q下為馬氏環(huán)境下馬氏鏈,則

且

設(shè)概率測(cè)度P和Q為可測(cè)空間(Ω,F)上的概率測(cè)度,令

稱h(P|Q)為P關(guān)于Q的漸近對(duì)數(shù)似然比.特別地,若{(Xn,ξn),n≥0}在概率測(cè)度Q下是單無(wú)限馬氏環(huán)境下的馬氏鏈,則

隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈的研究已有相當(dāng)長(zhǎng)的歷史,Nawrotzkill[2,3]建立了隨機(jī)環(huán)境中的一般理論.Cogburn[1,4,5]構(gòu)造了Hopf-鏈,利用Hopf-鏈理論深入研究了平穩(wěn)環(huán)境中馬氏鏈的遍歷理論,中心極限定理,直接收斂和轉(zhuǎn)移函數(shù)的周期性關(guān)系以及不變概率測(cè)度的存在性.Hu[6-8]對(duì)連續(xù)時(shí)間參數(shù)的隨機(jī)環(huán)境中的馬氏過(guò)程的存在性,等價(jià)性,q-過(guò)程的存在唯一性進(jìn)行了研究.李應(yīng)求等[9-11]利用鞅差理論來(lái)研究隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈,在假設(shè)馬氏雙鏈遍歷的條件下,得到了馬氏環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律成立的充分條件以及馬氏環(huán)境中若干強(qiáng)極限定理.石志巖等[12-14]研究了隨機(jī)環(huán)境下樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的定義及其存在性,以及馬氏環(huán)境下Cayley樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的Shannon-McMillan定理.

強(qiáng)偏差定理(亦稱小偏差定理)是由不等式表示的一類強(qiáng)極限定理,它是強(qiáng)極限定理的推廣.劉文和楊衛(wèi)國(guó)[15]研究了馬氏逼近和任意隨機(jī)變量序列的一類小偏差定理;楊衛(wèi)國(guó)[16]研究了任意N值隨機(jī)變量序列關(guān)于m階非齊次馬氏鏈的一類小偏差定理;彭維才[17]研究了關(guān)于齊次樹(shù)上隨機(jī)場(chǎng)的一類強(qiáng)偏差定理;石志巖[18]研究了樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程的一類強(qiáng)偏差定理;石志巖和季金莉等[19]研究了可列齊次馬氏鏈的一類強(qiáng)偏差定理.

本文首先給出漸近對(duì)數(shù)似然比的概念,通過(guò)構(gòu)造非負(fù)鞅的方法,建立可列狀態(tài)齊次馬氏鏈的強(qiáng)偏差定理.最后,我們得到了單無(wú)限馬氏環(huán)境下可列齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律及Shannon-McMillan定理.

2 主要結(jié)論及證明

引理1

證該引理的詳細(xì)證明與文獻(xiàn)[20]的引理1類似,故此處省略.

引理2設(shè)P和Q是定義在可測(cè)空間(Ω,F)上的兩個(gè)概率測(cè)度,且{(Xn,ξn),n≥0}在概率測(cè)度Q下為定義1中定義的單無(wú)限馬氏環(huán)境下的馬氏鏈.f(x,θ;y,α)是(χ×Θ)2上的實(shí)函數(shù),λ為一個(gè)實(shí)數(shù).令

其中EQ表示在概率測(cè)度Q下的期望,則{tn(λ,ω),Fn,n≥1}是概率測(cè)度P下的非負(fù)鞅.

證令則

因此{(lán)tn(λ,ω),Fn,n≥1}是概率測(cè)度P下的非負(fù)鞅.

定理1設(shè)P和Q是定義在可測(cè)空間(Ω,F)上的兩個(gè)概率測(cè)度,{(Xn,ξn),n≥0}在概率測(cè)度Q下為取值于可數(shù)狀態(tài)空間(χ×Θ)的單無(wú)限馬氏環(huán)境下的馬氏鏈,f(x,θ;y,α)是定義于(χ×Θ)2上的實(shí)函數(shù).令c≥0,

假設(shè)存在實(shí)數(shù)α＞0,對(duì)任意正整數(shù)k,有

且任意(x,θ)∈(χ×Θ),有

其中EQ表示在概率測(cè)度Q下的期望.則有

特別地

證由引理2知,{tn(λ,ω),Fn,n≥1}是在概率測(cè)度P下是非負(fù)鞅,由Doob鞅收斂定理[21]知,存在一個(gè)有限非負(fù)隨機(jī)變量t∞(λ,ω)使得P-a.e.,故

由(10)和(19)式有

3 Shannon-McMillan定理

fn(ω)在某種意義下收斂于常數(shù)(L1收斂,依概率收斂,a.e.收斂),在信息論中稱為Shannon-McMillan定理或熵定理或稱為信源的漸近等分性(AEP).Shannon[22]首先研究了有限字母集上的平穩(wěn)遍歷信源依概率收斂的漸近等分性;McMillan[23]和Breiman[24]分別證明有限字母集上的平穩(wěn)遍歷信源L1收斂和a.e.收斂的漸近等分性;鐘開(kāi)萊[25]研究了字母集為可列的情況;劉文和楊衛(wèi)國(guó)[26,27]給出了一類非齊次馬氏信源的漸近等分性以及m階非齊次馬氏信源的漸近等分性.本節(jié)我們將研究單無(wú)限馬氏環(huán)境下可列齊次馬氏鏈的Shannon-McMillan定理.

定理3設(shè){(Xn,ξn),n≥0}是取值于可數(shù)狀態(tài)空間(χ×Θ)的隨機(jī)變量序列.設(shè)P是強(qiáng)遍歷的,且π是由P決定的唯一平穩(wěn)分布.若

附錄