隨機環境中馬氏鏈函數的極限性質

2020-09-21 13:48:28敏萬成高

數學雜志 2020年5期

關鍵詞：環境

黃敏萬成高

(1.武漢學院信息工程學院,湖北武漢430212)

(2.中南財經政法大學統計與數學學院,湖北武漢430073)

(3.湖北大學數學與統計學學院,湖北武漢430062)

1 引言

設(Ω,F,P)是一概率空間,(X,A)和(Θ,B)均為任意的可測空間,={ξn:n≥0}和={Xn:n≥0}分別是(Ω,F,P)上取值于Θ 和X的隨機序列,{P(θ):θ∈Θ}是(X,A)上的一族轉移函數,且假設對任意的A∈A,P(·;·,A)是B×A可測的,{K(·,·)}是(Θ,B)上的轉移函數,且假設對任意B∈B,K(·,B)是關于B可測的.對任意序列記設這里Θj=Θ,Bj=B,j≥0.

如果對任意A∈A,n≥0,有

則稱為隨機環境中的馬氏鏈,稱為隨機環境序列.若是一馬氏序列,則稱為馬氏環境中的馬氏鏈.

本文假設是一步轉移概率為K(θ,B)的馬氏鏈,對任意的E∈A×B,記Pn(E)=P((Xn,ξn)∈E).約定:文中出現的C總表示正常數,它在不同的地方可以代表不同的值.集合A的示性函數記為IA.

20世紀80年代初,Cogburn等人開始研究隨機環境中馬氏鏈的一般理論,取得了一系列深刻的結果[1-3].Orey[4]在Cogburn等人的研究基礎上對隨機環境中馬氏鏈進行了深入的研究,并提出了一系列的問題,引起了眾多概率論學者的廣泛關注,使得隨機環境中馬氏鏈一般理論的研究成為國際上又一新的研究方向.國內學者對這一領域進行了深入的研究[5-9].目前,隨機環境中馬氏鏈的強大數定律這方面研究的相關文獻比較多[10-13],如由李應求(2003)首先提出具有離散參量的馬氏環境中馬氏鏈函數的強大數定律,并且給出了直接加于鏈和過程樣本函數上的充分條件.隨后,郭明樂(2004)同樣也研究了隨機環境中馬氏鏈的強大數定律.近年來,不同于李應求和郭明樂等人所研究的,吳艷蕾等人(2011)和宋明珠等人(2016)又分別研究了隨機環境中馬氏鏈的強大數定律成立的一系列充分條件.大家知道,極限定理一直是經典馬氏鏈理論研究中的熱門課題,取得的結果已十分深入.鑒于此,本文研究了隨機環境中馬氏鏈函數的極限性質,給出了隨機環境中馬氏鏈函數強大數定律成立的一系列充分條件.本文結構安排如下:首先,本文定理1給出了馬氏序列的強大數定律成立的兩個充分條件且得到了之前學者的相似結論;然后,在定理1的基礎上對偶函數列gn(x)取適合的函數,即可得到之前學者的一系列充分條件,故此充分條件較已有結論相對弱一些,從而推廣了之前學者的一系列充分條件;最后,利用本文所給出的充分條件重新給出了隨機環境中馬氏鏈函數強大數定律成立的一系列充分條件.因此,本文拓寬了已有結論的適用范圍.

2 主要結果及證明

引理1[11]設為隨機環境中的馬氏鏈,則是馬氏鏈.

定理1設{(Xn,Yn):n≥0}是(Ω,F,P)上取值于X×Y上的馬氏序列,{fn:n≥0}是(X,A)可測函數列.{gn(x),n≥0}為R上的偶函數序列,在區間(0,∞)上取正值,且對任意的n≥0,存在λ＞0,使得下述條件之一成立

(i)gn(x)在(0,∞)內單調不減,當0＜x≤1時,gn(x)≥λxθ(0＜θ≤1),且Efn(Xn)=0,n≥0;

同時對于正常數序列{an,n≥0},滿足an↑∞,有

則對任意的k≥1,有

及

這里約定:對任意的k≥1,X-k≡0,Y-k≡0.

證先考慮k=1的情況.在條件(i)下,當|fn(Xn)|＞an時,由于gn(x)在(0,∞)內單調不減,且有gn(1)≥λ.從而

在條件(ii)下,當|fn(Xn)|＞an時,利用gn(x)≥λxβ(β≥1,x＞1),可知

由(2.5)式或(2.7)式知

即P(|fm(Xm)|＞am:i.o.)=0,因而

由(2.6)式或（2.8）式知

記

由{(Xn,Yn),n≥0}的馬氏性,易知{Zn,Bn,n≥0}為鞅差序列.在條件(i)下,由鞅差序列的正交性知

在條件(ii)下,同樣有

下面再考慮k＞1的情形.由{(Xn,Yn):n≥0}的馬氏性易知,對任意的n=1,2,3,···,k-1,{(Xmk+n,Ymk+n):m≥0}是馬氏鏈,由(2.2)式顯然有

因此對任意的n=1,2,3,···,k-1,有

從而

亦即(2.3)式對k＞1成立,又由Kronecker引理知(2.4)式對k＞1也成立.

注本文定理1的充分條件中,對偶函數列gn(x)取適合的函數時,例如當0＜r＜1時,gn(x)=|x|r/(1+|x|r);當1≤r≤2時，gn(x)=|x|r/(1+|x|r-1),即可得到類似于之前學者已有結論.較之前學者已有結論,如文獻[12]的定理1和文獻[13]的定理1,本文的推論1和推論2都是在定理1的基礎上對gn(x)取不同的函數,即可得已有結論.因此本文所給出的隨機環境中馬氏鏈函數強大數定律成立的兩個充分條件拓寬了已有結論的適用范圍.

推論1設{(Xn,Yn):n≥0}是(Ω,F,P)上取值于X×Y上的馬氏序列,{fn:n≥0}是(X,A)可測函數列.{φn(x),n≥0}為R上的偶函數序列,在區間(0,∞)上取正值,且對任意的n≥0,下述條件之一成立

(iii)φn(x),x/φn(x)在(0,∞)內不減,且Efn(Xn)=0,n≥0;

(iv)φn(x)/x,x2/φn(x)在(0,∞)內不減.同時對于正常數序列{an,n≥0},滿足an↑∞,若有則有(2.3)和(2.4)式成立.

證取gn(y)=φn(xy)/φn(x),對任意的x∈(0,∞),y∈R,則有