數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐與研究

王玉敏

吉林師范大學(xué)，吉林 四平 136000

一、數(shù)形結(jié)合思想的重要性

數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)思想萌芽于古希臘，歐幾里得所著的《幾何原本》就是用幾何的方法來(lái)研究代數(shù)問(wèn)題，而所有代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決是古希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)特色。再到后來(lái)17世紀(jì)笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，使得“幾何”“代數(shù)”這兩家人終合為一家人，從此之后，數(shù)形結(jié)合的思想得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。我國(guó)的數(shù)形結(jié)合始于公元前十一世紀(jì)，商高曾提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算經(jīng)》記錄著商高同周公的一段對(duì)話，商高說(shuō)：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。”公元三世紀(jì)，趙爽制作了一副“勾股圓方圖”用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。公元263年左右，劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，公元480年左右，南北朝數(shù)學(xué)家祖沖之利用圓的內(nèi)接正24576邊形，進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果，創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平，領(lǐng)先西方國(guó)家1000多年。這些成就都是將數(shù)值代數(shù)和直觀幾何有機(jī)地配合起來(lái)所得到的。從以上的史實(shí)中能看出這一思想從古至今影響深遠(yuǎn)，它能使復(fù)雜的東西簡(jiǎn)單化，抽象的東西直觀化，掌握這一思想在解決問(wèn)題的過(guò)程中可以起到事半功倍的效果。而初中生正處于形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)化的階段，在教學(xué)過(guò)程中逐步滲透這一思想能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)分析問(wèn)題能力，提高學(xué)習(xí)效率，同時(shí)也為學(xué)生后續(xù)的高中的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、數(shù)形結(jié)合思想的生長(zhǎng)過(guò)程

美國(guó)著名教育心理學(xué)家布魯納提出的“螺旋式課程”，就是以與兒童思維方式相符的形式將學(xué)科結(jié)構(gòu)置于課程的中心地位，隨著年級(jí)的提升，不斷拓廣加深學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，使之在課程中呈螺旋式上升的態(tài)勢(shì)。不僅課程如此設(shè)置，重要的數(shù)學(xué)思想也是從初一開(kāi)始滲透，重復(fù)出現(xiàn)，逐漸加深，使之達(dá)到熟練應(yīng)用的目的。

（一）思想的萌芽期

七年級(jí)上冊(cè)第一章第二節(jié)《數(shù)軸》就是數(shù)形結(jié)合思想初次引入的實(shí)例，用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，可以借助圖直觀地表示很多與數(shù)相關(guān)的問(wèn)題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，即數(shù)軸右邊的數(shù)永遠(yuǎn)大于左邊的數(shù)。僅僅借助一個(gè)數(shù)軸，學(xué)生就可以輕而易舉的理解，可以做到舉一反三。同時(shí)數(shù)軸的引入，也為后面學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)加減法提供了有用的工具，借助數(shù)軸去理解相反數(shù)、絕對(duì)值比起讓學(xué)生死記硬背定義要更容易理解，降低了學(xué)生的認(rèn)知難度。尤其在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法時(shí)，引入了負(fù)數(shù)，該如何加減呢？教材以生活中實(shí)際問(wèn)題為例，“以物體先向右運(yùn)動(dòng)5米，再向右運(yùn)動(dòng)3米，兩次運(yùn)動(dòng)的最后結(jié)果是什么？可以用怎樣的算式表示？”然后“物體先向左運(yùn)動(dòng)5米，再向左運(yùn)動(dòng)3米，兩次運(yùn)動(dòng)的最后結(jié)果是什么？可以用怎樣的算式表示？”學(xué)生根據(jù)所學(xué)列出式子，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)法則，接下來(lái)給出兩次異向運(yùn)動(dòng)，由學(xué)生自己探究算式的列法、法則，仿照前面的過(guò)程，利用數(shù)軸，學(xué)生已經(jīng)可以獨(dú)立列出算式，在教師的適當(dāng)指導(dǎo)下得出有理數(shù)加法法則。

在這一過(guò)程中，學(xué)生能充分體會(huì)到數(shù)軸所帶來(lái)的直觀性，感悟到借“形”助“數(shù)”的優(yōu)越性。教師不需要明確指出這是數(shù)形結(jié)合思想，只是先讓學(xué)生去慢慢感受，讓這一思想在心中萌芽。

（二）思想的生長(zhǎng)期

七年級(jí)下冊(cè)第七章《平面直角坐標(biāo)系》用有序數(shù)對(duì)來(lái)刻畫(huà)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，建立圖形與數(shù)量間的聯(lián)系，明確地將幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。

八年級(jí)上冊(cè)第十四章《乘法公式》中，平方差公式和完全平方公式就是從“數(shù)”和“形”兩方面推導(dǎo)的。首先從數(shù)的方面引入，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)：

但教師在教學(xué)過(guò)程中不能到此為止，數(shù)與形二者不可分割，所以接下來(lái)要從形的方面去驗(yàn)證，通過(guò)圖形面積的變化直觀感受這兩個(gè)公式，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性。

八年級(jí)下冊(cè)第十七章《勾股定理》揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，然后教材中介紹了“趙爽弦圖”，通過(guò)對(duì)圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理。勾股定理是從“形”到“數(shù)”，勾股定理的逆定理是從“數(shù)”到“形”，二者互逆，密不可分。這一由圖形中得出的完美的數(shù)量關(guān)系，更是引起了人們的廣泛興趣。幾千年以來(lái)，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都研究過(guò)它的證明?？梢哉f(shuō)，人們已經(jīng)體會(huì)到數(shù)形結(jié)合這一思想的優(yōu)越性，并能主動(dòng)運(yùn)用它解決問(wèn)題。

八年級(jí)下冊(cè)第十九章《函數(shù)》，學(xué)生首次接觸用函數(shù)的觀點(diǎn)解決運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，這對(duì)他們來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，而利用數(shù)形結(jié)合就能將難點(diǎn)慢慢攻破。例如如下的問(wèn)題：

例1．甲乙兩人騎自行車(chē)前往A地，他們距A地的路程s（km）與行駛時(shí)間t（h）之間的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖像提供的信息解答下列問(wèn)題：

（1）甲乙兩人的速度各是多少？

（2）求出甲距A地的路程s與行駛時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）在什么時(shí)間段內(nèi)乙比甲離A地更近？

分析：這道題是典型的“以形助數(shù)”問(wèn)題，通過(guò)圖像完全能夠求出甲乙兩人的速度分別是，第二問(wèn)通過(guò)設(shè)一次函數(shù)解析式，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)求出，第三問(wèn)利用圖像能一目了然看出答案，兩條直線交點(diǎn)即為兩人相遇，相遇之后乙的圖像明顯位于甲的圖像下方，因此在此段時(shí)間內(nèi)乙比甲離A地更近，求出時(shí)間即可。

例2．1號(hào)探測(cè)氣球從海拔5m處出發(fā)，以1m/min的速度上升。與此同時(shí)，2號(hào)探測(cè)氣球從海拔15m處出發(fā)，以0．5m/min的速度上升，兩個(gè)氣球都上升了1h。

（1）用式子分別表示兩個(gè)氣球所在位置的海拔y（單位：m）關(guān)于上升時(shí)間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系；

（2）在某時(shí)刻兩個(gè)氣球能否位于同一高度？如果能，這時(shí)氣球上升了多長(zhǎng)時(shí)間？位于什么高度？

（2）最好是利用函數(shù)圖像解決此問(wèn)題，在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖像，這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(20,25)，說(shuō)明當(dāng)上升20min時(shí)，兩個(gè)氣球都位于海拔25米的高度。

1．思想的成熟期

學(xué)生在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)之后，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)潛移默化的深入他們的意識(shí)中，升入九年級(jí)，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)可以說(shuō)將這一思想應(yīng)用到極致，無(wú)處不在。

例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A，B，C

（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱(chēng)軸。

（2）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得三角形PAB周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：第一問(wèn)通過(guò)圖像觀察到拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，可以設(shè)解析式的一般形式，然后代入三點(diǎn)坐標(biāo)；第二問(wèn)根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”作出圖形，直線AC與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)即為點(diǎn)P，這就使得原本很抽象的問(wèn)題在圖上展示的一目了然，降低了問(wèn)題的難度，提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，接下來(lái)學(xué)生只需要計(jì)算就可以了。這是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)很好的應(yīng)用。

另外初三下冊(cè)的《相似三角形》更是體現(xiàn)了“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”二者相互轉(zhuǎn)化，密不可分，下面以一道習(xí)題為例：

分析：根據(jù)題意，化動(dòng)點(diǎn)為不動(dòng)，畫(huà)出圖形，接下來(lái)從數(shù)的角度切入，利用相似三角形的性質(zhì)，求出需要的邊長(zhǎng)。要解決這一道題，第一步畫(huà)出圖形尤為關(guān)鍵，第二步需要精準(zhǔn)計(jì)算，兩步只要有一步缺失，這道題就無(wú)法求出，由此可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合思想的完整性與統(tǒng)一性。

三、對(duì)教學(xué)提出的幾點(diǎn)建議

（一）首先，教師要引起絕對(duì)的重視。作為學(xué)生的引導(dǎo)者，教師要有意識(shí)地將其融入課堂中來(lái)，在概念的教學(xué)中，不能只是簡(jiǎn)單的一個(gè)定義，幾條注意，也不能讓學(xué)生死記硬背，這樣不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且還會(huì)降低對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)過(guò)程中，教師要充分利用數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生借助圖形，在頭腦中形成數(shù)學(xué)模型，來(lái)強(qiáng)化相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用能力。同時(shí)要積極引導(dǎo)學(xué)生感受在概念形成過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，包括教材中的各種定理、公式以及法則，都是歷代數(shù)學(xué)家們智慧的結(jié)晶，這也是他們經(jīng)過(guò)多次推斷，反復(fù)修改，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想得出的正確的論斷。比如勾股定理及其逆定理教學(xué)過(guò)程中，教師要通過(guò)大量的圖形演示，深刻體會(huì)此定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程，帶領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)與形的完美統(tǒng)一。

（二）其次應(yīng)該強(qiáng)化練習(xí)。俗話說(shuō)“授人以魚(yú)不如授人以漁”，教學(xué)的最終目的是教給學(xué)生解決問(wèn)題的方法，使其能做到會(huì)一個(gè)而會(huì)一類(lèi)。在講解習(xí)題過(guò)程中，教師應(yīng)指引學(xué)生怎樣由已知條件實(shí)現(xiàn)由形變數(shù)或由數(shù)化形，而不是就題論題或以得出正確結(jié)果為最終目的。而且教師要鼓勵(lì)學(xué)生找解決問(wèn)題的多種方法，在多種方法中比較得出最簡(jiǎn)單的方法。例如在幾何問(wèn)題中證明兩條線段相等，可以通過(guò)證兩條邊所在的三角形全等，還可以利用等腰三角形等角對(duì)等邊、垂直平分線的性質(zhì)等等?？傊菫榱藢W(xué)生更好地理解數(shù)形結(jié)合思想的精髓。

（三）在課堂教學(xué)過(guò)程中可以充分利用現(xiàn)代多媒體展示數(shù)形結(jié)合方法。初中階段的學(xué)生抽象思維漸漸形成，但還處于薄弱期，對(duì)于有些“運(yùn)動(dòng)”的點(diǎn)、線段、圖形可以借助多媒體，讓學(xué)生直觀的感受量的變化，可以深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合這一思想方法的好處，同時(shí)又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（四）在數(shù)形結(jié)合的思想下有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生幾種基本能力，包括使用尺規(guī)作圖的能力、問(wèn)題的推理能力、轉(zhuǎn)化能力。

（五）在平時(shí)的課堂教學(xué)中，要深入挖掘數(shù)形結(jié)合思想，不能搞“一刀切”，采取循序漸進(jìn)的策略，必要時(shí)可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行分層教學(xué)，最終目的是希望人人都能得到不同的發(fā)展。

（六）應(yīng)及時(shí)總結(jié)歸納，提煉思想方法。只是在知識(shí)傳授中以及習(xí)題講解過(guò)程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法是不夠全面的，所以在章末復(fù)習(xí)時(shí)，要帶領(lǐng)學(xué)生提煉思想方法和如何應(yīng)用，整理歸納知識(shí)點(diǎn)和題目，便于形成知識(shí)體系，并在解題過(guò)程中養(yǎng)成用這種思想解決問(wèn)題的習(xí)慣。

四、結(jié)束語(yǔ)

課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出學(xué)生除了要掌握必須的數(shù)學(xué)知識(shí)外，還要掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。確實(shí)數(shù)形結(jié)合思想能夠不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，豐富認(rèn)知情感，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，教師作為引導(dǎo)者，應(yīng)該有意識(shí)的提升教學(xué)的趣味性，不斷豐富教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效率，在教學(xué)過(guò)程中要合理導(dǎo)入數(shù)形結(jié)合思想，使這種思想真正成為學(xué)生的一種習(xí)慣，一種受益一生的素養(yǎng)。