關(guān)于旋轉(zhuǎn)型最值問題的探討

姜敏霞

摘要：最短路徑模型是初中數(shù)學(xué)九大模型之一，而本次所要探討的旋轉(zhuǎn)型最值問題又是最短路徑其中的模型之一。最值問題在初中數(shù)學(xué)中占了很大的比重，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，它主要考查學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的綜合運(yùn)用能力，具有較強(qiáng)的靈活應(yīng)用性。其關(guān)鍵是要以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，找準(zhǔn)問題的切入點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)解題模型，尋找捷徑，從而把問題化繁為簡(jiǎn)，使問題得以解決。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)型最值;問題;中考數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;最短路徑;模型

1.旋轉(zhuǎn)型最值問題的研究背景

最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有較大的靈活性和應(yīng)用性，同時(shí)也是一類綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題。它主要考查學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)思想，找準(zhǔn)問題的切入點(diǎn)，構(gòu)建合適的問題解決的數(shù)學(xué)模型，找尋問題解決的捷徑，從而把最值問題由復(fù)雜轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單，使問題得以解決。

旋轉(zhuǎn)型最值問題首次出現(xiàn)在浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第三章的圓中，這也是學(xué)生在初中階段內(nèi)首次接觸與圓相聯(lián)系的問題。不過當(dāng)時(shí)并未具體出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)型最值問題的跡象，反而是在九年級(jí)下冊(cè)第二章與圓有關(guān)的位置關(guān)系這一章節(jié)中才真正出現(xiàn)。與圓有關(guān)的位置關(guān)系這一章節(jié)中首先講訴的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，這也是旋轉(zhuǎn)型最值問題的基礎(chǔ)題型。其基本題型如下所示：

如圖，設(shè)圓的半徑為r，平面內(nèi)任一點(diǎn)到圓心的距離為d，則

1.點(diǎn)在圓外d>r，如點(diǎn)A

2.點(diǎn)在圓上d=r，如點(diǎn)B

3.點(diǎn)在圓內(nèi)d

至此，學(xué)生們充分理解到點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以通過點(diǎn)到圓心的距離d和該圓的半徑r的大小比較來判斷。點(diǎn)在圓外，d>r;點(diǎn)在圓上，d=r;點(diǎn)在圓內(nèi)，d

2.旋轉(zhuǎn)型最值問題研究中出現(xiàn)的問題

旋轉(zhuǎn)型最值問題是中考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有較強(qiáng)的靈活應(yīng)用性，也是一類綜合性較大的問題。因?yàn)樗灤┝顺踔袛?shù)學(xué)的始終，是一個(gè)熱點(diǎn)問題，所以學(xué)生們平常在做題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)書本的知識(shí)點(diǎn)難以應(yīng)用在實(shí)際題目當(dāng)中。一方面可能是學(xué)生剛遇到此類題型，還沒有熟悉題目類型;另一方面還是因?yàn)轭}目的靈活多變性，使得學(xué)生們不能以慣性思維來做題。

比如在2018年嘉興市中考中有一道選擇題：

1.用反證法證明時(shí)，假設(shè)結(jié)論“點(diǎn)在圓外”不成立，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系只能是（? ?）

A.點(diǎn)在園內(nèi)? ? ? B.點(diǎn)在圓上? ? ?C.點(diǎn)在圓心上? ? ?D.點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)

解析：此題著重考查學(xué)生對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的掌握情況，以及它的實(shí)際應(yīng)用能力。點(diǎn)與圓的位置總共只有三種，因此要使“點(diǎn)在圓外”不成立，只能使點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)，故選D.

上訴題目是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系這類題型的基本題，題型較為簡(jiǎn)單，是學(xué)生們都能夠掌握的題型，但題型一旦發(fā)生變化，基礎(chǔ)掌握不夠扎實(shí)的學(xué)生犯錯(cuò)的概率便會(huì)變大，甚至還會(huì)學(xué)生對(duì)此束手無策。如此類題型：

2.如圖，已知線段OA=4，OB=2，OB繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)360°，問AB的最大值和最小值分別是多少？

3.如圖，已知線段OA=4，OB=2，以點(diǎn)O為圓心，OB、OC為半徑作圓，點(diǎn)P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界）。問：

（1）若PA的最大值為10，則OC的值為？

（2）若PA的最小值為1，則OC的值又是多少？

3.旋轉(zhuǎn)型最值問題中的解決方法及實(shí)際運(yùn)用

對(duì)于這類題型，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)思想，找準(zhǔn)問題的切入點(diǎn)，構(gòu)建合適的問題解決的數(shù)學(xué)模型，找尋問題解決的捷徑，從而把旋轉(zhuǎn)型最值問題由復(fù)雜轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單，使問題得以解決。

問題2中講述OB繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)360°即點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，半徑為2的圓上，OA=4意味著點(diǎn)A在圓外，本題可以描述為圓外一點(diǎn)到圓上一動(dòng)點(diǎn)的距離最大值和最小值的問題。另一方面，我們可以看到線段OA，OB，AB在平面內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，而三角形有一個(gè)基本性質(zhì)：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。因此可將問題轉(zhuǎn)化到三角形的性質(zhì)上來進(jìn)行解決。由此我們可以知道線段AB的最大值為OA+OB，最小值為OA-OB。

問題3 中點(diǎn)P不再像點(diǎn)B一樣在圓周上運(yùn)動(dòng)，而是在圓環(huán)內(nèi)部（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，大大增加了本題的難度。在問題2中我們運(yùn)用了三角形的基本性質(zhì)進(jìn)行求解，那是否也可以用它來求解問題3呢？我們不妨從這方面來考慮。考慮最值問題時(shí)我們需要考慮邊界問題，當(dāng)點(diǎn)P在以O(shè)B為半徑的圓周上時(shí)，這就是問題2 所要求解的問題。故點(diǎn)P出現(xiàn)在以O(shè)C為半徑的圓周上時(shí)才是問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)。根據(jù)三角形性質(zhì)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可知線段PA的最大值為OA+OC，最小值為OA-OC，即可求解此題。

4.旋轉(zhuǎn)型最值問題在初中數(shù)學(xué)的發(fā)展

最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，它主要考查學(xué)生對(duì)平時(shí)所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的綜合運(yùn)用能力，具有較強(qiáng)的靈活應(yīng)用性。其關(guān)鍵是要以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，找準(zhǔn)問題的切入點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)解題模型，尋找解決問題的捷徑，從而把問題化繁為簡(jiǎn)，使問題得以解決。

在碰到此類問題時(shí)需靜下心來，沉著應(yīng)對(duì)，不要被它復(fù)雜的外表所欺騙，找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，掰開題目所要傳達(dá)的真正意義，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解。