“度量”在前 “關系”在后

周維娜

【摘要】遵循分數的本身特點，打破教材原結構，重新建構分數知識網絡：先從度量出發，認識分數是“分”出來的、有大小的一種新的數，也就是“數”維度的分數;再教表示“關系”維度的分數，即分數的無量綱性。這樣的教學方式對解決教學上的困惑、學生的錯誤頑疾以及教材編排邏輯上的不講道理是行之有效的。

【關鍵詞】度量;關系;抽象;分數教學

分數是公認的小學階段最抽象、最復雜也是最容易出現問題的概念之一，對分數概念的學習和掌握是小學階段最難的學習任務之一。這不僅要求教師深刻理解分數的學術形態，還要研究如何有效落實“分數教學”，呈現學生容易接受的教育形態。

教材安排的“分數的初步認識”直接從“關系”維度入手學習分數，和學生原有的認數經驗有沖突，學生不那么容易接受。無獨有偶，嘉興的朱國榮老師先教有單位的分數，“分數的初步認識”中的分數是始終帶著單位的;臺灣老師在“分數的簡單應用”中的分數也是帶著單位的;余姚朱震緋老師主張“從自然數的角度認識分數”。受此啟發，筆者遵循分數的本身特點，打破教材原結構，重新建構分數知識網絡：先從度量出發，認識分數是“分”出來的數，有大小的，也就是“數”維度的分數;再教表示“關系”維度的分數。

一、度量操作中“分”出分數

把五下“分數的意義”中“分數的產生”提前到“分數的初步認識”第一課，通過度量、分物等操作活動告訴學生：分數是在不能用自然數表示的情況下產生的，首先表示是數量的多少，分數后面可以有不同的單位;分數是在度量操作中“分”出來的數，是介于0和1之間的，是自然數系的擴充。

【“幾分之一”的教學片段】

●分蘋果，引出1/2個

師：今天的學習就從分蘋果開始。

4個蘋果平均分成2份，每份有幾個？（2個）

2個蘋果平均分成2份，每份有幾個？（1個）

1個蘋果平均分成2份，每份有幾個？（半個）

師：如果用一個數表示，誰有辦法？

●分物體，感知表示數量的1/2

依次呈現上圖。

師：1個月餅平均分成2份，一份是幾個？（1/2個）

師：1/2個月餅在哪里？你能指一指嗎？這里的1/2個是誰的1/2？

師：一張長方形紙平均分成2份，這一份是幾張？（1/2張）

師：1/2張紙又在哪里？是誰的1/2？

師：把1米長的彩帶平均分成2份，這一份是幾米？（1/2米）

師：1/2米在哪里？請你在圖上指出來。這個1/2米又是誰的1/2？

課堂上通過平均分，每份個數從“自然數個”到“一半”“半個”，不能再用自然數表示，讓學生很自然經歷分數產生的過程。教學上這樣處理，教師的教和學生的學不會背道而馳，符合學生的認數認知，符合數系擴張的數學本質。一個蘋果、一張紙平均分成2份，每份就是半個蘋果、半張紙，也就是1/2個、1/2張。這個環節，不出現一般的分數定義，只是用分數描述一些平均分意義下某個部分的具體大小，分數始終帶有單位，從“數量”的角度去認識分數，有助于學生不斷體會“分數是一種有大小的數”，是一個在度量操作中分出來的新的“數”。

二、具體數量中抽象出分數

史寧中教授認為，分數是一種無量綱（或稱量綱一）的數，認識分數的無量綱性對于分數的建模是非常重要的。教材沒有向學生揭示分數無量綱性的意義。為此，我們要創設行之有效的數學活動，讓學生體會分數無量綱性的意義，知“分數”其所以然。

【“幾分之一”教學片段】

●具體數量中抽象出1/2

師：為什么這些1/2表示的東西不一樣，卻都可以用1/2表示？

●1/2可以表示什么？

生1：一個西瓜平均分成2份，任何一份都可以用1/2表示。

生2：一個正方形平均分成2份，其中一份可以用1/2表示。

生3：一根繩子對折剪斷，每一段是繩子總長度的1/2。

這個環節設計就是給學生足夠多的素材，在這些素材中經歷1/2的抽象、建模過程。先在“分物”的具體情境中產生“表示數量”的1/2這個分數，學生認識了一個個“接地氣”的“1/2個蘋果、1/2張紙、1/2米……”然后教師追問：“為什么這些1/2表示的東西不一樣，具體大小也不同，卻都可以用1/2表示？”這既是分數抽象建模的過程，也是讓學生體會分數“無量綱性”的過程。舍棄非本質的東西：“1/2個蘋果、1/2張紙、1/2米”表示的形狀、大小不一樣。抽取共同、本質的特征：凡是一個物體平均分成2份，表示其中的一份都是1/2，與物體本身的大小無關，這也是分數的無量綱性。抽象之后，又回到現實的問題情境中：“1/2還可以表示什么？”再次讓學生體會1/2的無量綱性。這樣來回，既建立了分數1/2表示“部分與整體關系”的模型，又讓學生理解了“1/2首先是一個數”。因為這個環節的單位1表示的數量都是1個，所以這里的1/2=1/2個。

三、比較中抽象出分數

圖5是“分數的簡單應用”中例1的材料，學生在理解上難度很大，明明是1個正方形、2個蘋果，可以用整數1、2表示，為什么非要用1/3、1/4表示呢？“1個正方形是4個正方形的1/4”“1份是蘋果總數的1/3”就無法成為學生的內需，只能成為教師“教新知識”的過程。解決這一問題，可以通過比較、找不同中的相同點，進而用分數的無量綱性來表達這種相同之處，即在比較中抽象出分數。

【“分數的簡單應用”教學片段】

1.復習整體數量是1個的1/4（呈現圖6）

師：你能用一個分數表示藍色部分紙嗎？（1/4）

師：這個1/4表示誰的1/4？

師：這個1/4后面可以加單位“張”嗎？

2.引入整體數量4個的1/4（呈現圖7）

師：這張紙也能用1/4來表示，你猜一猜，這張紙的周圍還藏著這樣的幾張？

師：這張紙的周圍還藏著這樣的3張，那總共有幾張這樣的紙呢？（呈現圖8）藍色紙占了全部紙的——（生答1/4）

師：這個1/4能添加單位“張”嗎？為什么？

學生先認識分數是有大小的一種新的數，再理解分數的無量綱性：表示關系的分數。這樣的分數教學方式對解決教學上的困惑、學生的錯誤頑疾以及教材編排邏輯上的不講道理是行之有效的。

【參考文獻】

[1]史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]朱國榮.像教自然數那樣教分數——“分數的初步認識”教學新思考[J].小學教學，2015（07）：41-45.

[3]朱國榮.分數表示關系的含義，該怎樣教——“分數的簡單應用”教學實踐與思考[J].小學教學（數學版），2016（07）：66-71.

[4]朱震緋.從自然數的角度認識分數——“幾分之一，幾分之幾”教學實踐與思考[J].小學數學教師，2016（03）.