概念，非一“概”而“念”

張鴿

[摘? 要] 數學概念是數學理論的基石，也是數學方法的依據，是有效數學學習的支柱. 在中考一輪復習的過程中，如何夯實這一基礎，如何達成知識與技能的同步提升成為一線教師重點研究的一項課題.

[關鍵詞] 概念;初中數學;一輪復習

初三一輪復習以溫故基礎、提高能力為主要目標，概念教學在復習中起著重要的作用. 但在教學實踐中不難發現，學生對數學概念往往比較輕視，認為概念的復習顯得有些“多余”. 傳統的復習課對概念大都以“念”的方式進行灌輸式教學，這種方式雖有一定的效果，但成效并不顯著. 如何提高一輪復習中概念教學的成效是一線教師持續熱議的話題. 筆者通過實踐與研究，在自身的教學觀察及經驗積累中總結了一些概念復習的方法，并在自己及所教授的班級中進行了實踐與改進，下面結合教學實際案例來談談筆者在概念復習上的幾點嘗試.

問題引導式：直擊考點，促進

理解

問題是組成數學的基本屬性之一，解決問題是數學學習的主要目標之一，以問題貫穿教學是數學教學常用的方法之一. 以問題引導的方式進行概念復習，能夠有效地避免學生對概念產生“乏味”的感覺，同時可以讓學生清楚每一個概念的運用方式，促進學生對概念的理解，從而明晰每一個考點.

下面是一輪復習“方程與不等式”的教學片段.

快速完成下列問題，并思考每個問題所對應的考點.

（完成方式：學生獨立完成，組內糾錯，學生代表展示成果）

1. 解方程（組）：

（1）x2-2x-6=0;

（2）x2-7x+10=0;

（3）3x+2y=5，2x-3y=-14;

（4） +1= .

2. 解不等式組，并將解集在數軸上表示出來：2x+3>3（x+1）， ≤ .

3. 已知關于x的方程x2-（2k-1）x+k2-2k+3=0有兩個不相等的實數根.

（1）求實數k的取值范圍.

（2）設方程的兩個實數根分別為x1，x2，是否存在實數k，使得x1-x2= ？若存在，試求出k的值;若不存在，請說明理由.

4. 為了籌辦畢業晚會，八年級（九）班準備去商店購買20個氣球做游戲道具，并買一些杯子作為游戲獎品. 已知每個氣球的價格是1.5元，每個杯子的價格是25元. 如果預算金額是260元，那么他們最多能買多少個杯子？

5. 某化工企業預計每月將產生1960 t廢渣，為響應環保號召，該企業計劃購置廢渣轉化處理器進行環保處理. 經過調查可知，現市面上有如下兩種型號的處理器：

已知某商家售出3臺A型、1臺B型廢渣轉化處理器的總價為38萬元，售出2臺A型、3臺B型廢渣轉化處理器的總價為44萬元.

（1）求每臺A型、B型廢渣轉化處理器的價格;

（2）為確保將每月產生的廢渣全部處理完，該企業如何購買上述廢渣轉化處理器才可以使所花的價格最少？

成果展示：

生1：上述問題對應的考點分別是（第1題）一元二次方程、二元一次方程組及分式方程的解法;（第2題）不等式組的解法;（第3題）一元二次方程根的判別式及求根公式;（第4題）不等式的實際運用;（第5題）二元一次方程組及不等式的綜合運用.

師：你分析得真透徹. 在此基礎上，我們是否可以分別對每一個考點進行更具體的處理，即理一下每個考點后面所隱藏的基本概念？

生2：從第1題中還可以歸納出一元二次方程、二元一次方程組及分式方程的定義以及解這些方程的注意點（定義及注意點內容此處不再贅述）.

生3：根據第2題的解法我們可以歸納一下不等式（組）的解法及注意點.

生4：由第3題我們還可以引申出根與系數的關系x +x =- ，x x = ，及常見變形式，如x +x =（x +x ）2-2x x ， + = 等.

生5：由第4題我們可以歸納出用不等式解決實際問題的基本步驟：審（題）→設（未知數）→找（不等關系）→列（不等式）→解（不等式）→答.

生6：由第5題同樣可以歸納出用方程（組）解決實際問題的基本步驟：審（題）→設（未知數）→找（等量關系）→列（方程（組））→解（方程（組））→答.

初三復習課與新授課相比，相對“樸實”，課堂教學沒有過多的豐富形式，而問題卻能很好地激發學生的參與熱情，因此，提問這種方法可以在概念復習中廣泛使用. 以問題引導的形式進行概念教學對于學生來說有著雙重意義，其一在于達到概念復習與概念運用的目的，其二在于引導學生養成自主歸納、自覺思考的習慣.

思維導圖式：揭示內涵，注重

聯系

概念的再回顧是讓已經學過的知識更加穩固，并且能夠透過文字表面看到概念的內涵，明晰知識與知識之間的聯系. 在這個過程中，教師的引導方式起著決定性的作用. 如何讓抽象的知識變得形象具體，從而讓學生相對直觀地感悟到知識之間的聯系？這個問題早有學者及專家進行過探索. 思維導圖的提出及推廣為這個問題找到了理想的答案. 筆者也在以思維導圖進行概念教學的過程中體會到了成效.

如筆者進行“平行四邊形”的概念復習時，與學生共同梳理、繪制了如圖1所示的思維導圖.

在幾何教學中，思維導圖可以將圖形與文字相結合，使概念變得更加形象、直觀. 思維導圖可以直接給學生展示各概念之間的聯系及關系，將零碎的知識串聯成一張知識網，讓知識間的內涵在知識網中更加直接地體現，這有利于學生更深刻地掌握數學概念，提高數學能力.

查漏補缺式：擴充儲備，形成

體系

查漏補缺式概念教學就是讓學生以自己的掌握程度為認知基礎，通過復習來進行查漏補缺，以達到擴充知識儲備、促進概念形成完整體系的效果.

以復習課“二次函數”為例進行查漏補缺式概念復習的教學片段如下.

師：這節課我們進行二次函數的復習，你能回憶出二次函數的哪些基本概念呢？

生1：二次函數的定義：y=ax2+bx+c（a≠0），定義的要點是①a≠0，②最高次數為2，③代數式一定是整式.

師：對于這個定義，在平時遇到的問題中你是怎樣運用的呢？

（生1遲疑……）

生2（補充回答）：問題中出現“二次函數”“拋物線”等字樣時，首先要考慮二次項系數不為零.

師：沒錯！二次函數的定義中最重要的就是“二次項系數不為零”這一要點. 我們要將此作為考慮二次函數問題的首要因素.

生3：二次函數的圖像是拋物線，從圖像上我們可以看出它的一系列性質：開口方向、對稱軸、增減性、最值.

師：你回答得很完整. 那么請你再告訴大家，對于y=ax2+bx+c（a≠0），如何由它的函數圖像來確定系數a，b，c的符號呢？

生3：a的正負由拋物線的開口方向決定，b與a的符號相對于對稱軸有著“左同右異”的規律，c的符號由圖像與y軸交點的位置來決定.

生4：二次函數中還有一個重要的概念，那就是它的解析式有三種不同的形式：頂點式、一般式、交點式.

師：很棒！那我們應該如何根據題中所給的條件來求二次函數的解析式呢？

生4：如果題中提供了頂點、對稱軸等條件，就用頂點式來求;如果題中給出了三個普通的點，就用一般式來求;如果題中有圖像與x軸的交點，就用交點式來求.

師：你歸納得真好，完整呈現了待定系數法求二次函數解析式的所有類型.

生5：二次函數的概念中還涉及二次函數與一元二次方程的關系. 二次函數圖像與x軸交點的橫坐標就是其相對應的一元二次方程的根，可以利用這個概念來確定一元二次方程的近似解.

生6：我覺得還需要補充二次函數與不等式的關系，根據函數圖像還可以確定相應不等式的解集.

……

從上述教學片段中不難看出，學生才是學習的主角，他們掌握了概念復習的主動權，教師只做了適當的引導與補充. 學生與學生之間的相互查漏補缺，使得概念復習不再是機械的知識傳送，而是學生的主動汲取，課堂氣氛活躍的同時也提高了概念復習的效率.

自我審查式：自主評價，深化

提高

自我審查式復習是以“生本課堂”作為指導思想的一種復習方式，是讓學生根據自己的實際情況進行個性化評價，以正確認識自己為前提進行“對癥下藥”，從而讓每個學生都能在自己的知識掌握基礎上得到提高，獲得復習的價值.

如在復習課“圓的有關概念”中，概念復習是該課的主要教學內容，筆者將所涉及的概念以簡單提綱的形式呈現在學程單中，讓學生以填空的形式來審查自身對概念的掌握情況.

1. 圓的定義1：_______________;

圓的定義2：_______________.

2. 弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧：_______________.

3. 圓的對稱性：_______________.

4. 垂徑定理：_______________;

垂徑定理的推論：_____________.

5. 圓心角、弧、弦之間的關系定理：____________.

6. 圓周角定理：____________;

圓周角定理的推論：___________

________________________________.

7. 圓內接四邊形的性質：_______

________________________________.

（完成方式：學生課前完成，課上組內交流，相互補充）

？搖？搖自我審查式概念復習，實質上是一種開放式的概念復習——教師基本不干預過程，完全放手讓學生自己完成，怎么學、學多少完全由學生自己決定. 在這個過程中，生生互助起著重要的作用，學生與學生之間的平等交流更利于發現自己在知識上的欠缺，從而對自己形成正確的認識. 學生間的相互促進有利于對概念的深化理解與提高.

概念是數學的基石，概念的復習是數學復習的基礎;概念是數學的理論，概念的復習也是提高學生數學素養的過程. 概念的復習并非只是為了考試，而是有著發展數學素養的長遠意義. 教學有法而無定法，教師應積極反思、勤于實踐，銖積寸累，避免一“概”而“念”，應讓概念的復習變得多樣化、生動化，從而提高復習效率，提升學生素養.