基于數學史的數學實數教學設計

吳玉婷

摘 要：數學史融入課堂教學已成為一種趨勢，它是培養學生數學核心素養的重要途徑，通常有附加式、復制式、順應式和重構式。對于“實數”的教學，以第一次數學危機為故事主線，問題驅動為輔，步步引導學生學習無理數，體會無理數產生的實際需要，以及從中體現的人類理性精神。

關鍵詞：數學史;實數教學;問題驅動

一、引言

數學史是人類文明中的一筆寶貴財富，具有獨特的教育功能。法國數學家龐加萊說：“如果我們想要遇見數學的未來，適當的途徑就是研究這門科學的歷史和現狀”。學生是未來世界的創造者，對作為一線的中學數學教師來說，帶領他們領略數學史，體會數學家們的精神和數學思想，為他們打開世界的大門，是我們應當要做到。

那如何將數學史融入到課堂教學中？附加式、復制式、順應式和重構式是幾種較為常見的融入方式?；诓煌绞降膬瀯菀约盁o理數涉及的數學史，以第一次數學危機故事為基礎，讓學生了解無理數發現的現實背景，感受數學家頑強拼搏，堅持真理的精神;接著通過幾個問題，讓學生沿著先人足跡去探索無理數;最后以一段微視頻，帶領學生感受數系的發展過程。

二、教學設計與實施

（一）無理數的發現背景

教師講述以下故事：

“萬物皆數”是古希臘畢達哥拉斯學派的信仰。他們認為宇宙的一切現象，都可以化為整數或分數的問題;除此之外，就不再有其他的什么東西了。然而這一信仰卻隨著他的學生希帕索斯計算邊長為1 的正方形對角線長度時被打破了。希帕索斯發現它既不是整數又不是分數，這個實際存在的量，就像是一個“外星人”一樣闖入了他的視線，于是趕緊把這一發現告訴他的老師畢達哥拉斯?？墒钱呥_哥拉斯也無法解釋這是怎么回事，因為他的全部知識理論都是以有理數為基礎的，于是他不準希帕索斯再談論?？墒窍Ｅ了魉咕拖胫?，如果我們不承認這個數，那豈不是等于說正方形的對角線長度不存在嗎。后來他為了堅持自己所得到結論，就將生命置之度外，把這件事傳揚了出去，最后卻被學派的人扔進了海里，失去了生命。那希帕索斯當年到底發現了什么？現在我們就沿著前人的足跡來探索這位神秘的“外星人”。

（二）無理數的發現過程

首先教師出示邊長為1的正方形，讓學生指出其對角線，然后引出問題1.

問題1： 你能拼出來嗎？

將兩個邊長為1 的正方形進行裁剪，拼成一個大正方形，使得大正方形的邊長剛好是小正方形的對角線，你和你的同伴能合作拼出來嗎？

學生以小組為單位，用準備好的完全一樣的正方形紙片進行剪拼，然后在全班交流討論。出乎意料，學生給出了以下兩種不同拼圖。

接著引導學生找出拼圖前后所蘊含的等量關系，得到此時的正方形面積為2，然后出示問題2。

問題2：面積為2的正方形邊長怎樣表示？

解：設正方形的邊長為x，依題意可得x2=2

根據平方根的定義及實際意義，得到，這個數表示面積為2的正方形的邊長，是現實世界中真實存在的線段長度。

思考：面積為3的正方形，它的邊長又如何表示？若面積為5呢？

類似地，用來分別表示面積為3和5的正方形的邊長。

問題3：是有理數嗎？

在七年級的學習中，我們知道整數和分數統稱為有理數，且任何一個分數寫成小數的形式，必定是有限小數或者無限循環小數。如：，，，。

但當年希帕索斯做了很多嘗試，卻發現并不能表示成這種形式，也就是說不是一個有理數。后來人們才意識到它是一個無限不循環小數。對于無理數的經典證明，歐幾里得的《幾何原本》當中就有，其中我們的課本閱讀材料中就給出了 不是有理數的證明過程。

問題4：無限不循環的小數還有哪些？

除了，等，我們在小學階段就已熟悉的圓周率π也是無限不循環小數。當然，我們也可自己構造，

如：0.303003000300003……（每兩個3之間0的個數逐漸多1個）

概括：無限不循環小數叫做無理數。

看來畢達哥拉斯學派雖然“懲罰”了希帕索斯，卻“懲罰”不了，反而還出現了更多，如…。畢達哥拉斯學派就這樣錯過了讓學派光榮的機會。

真理終究是不會被淹沒的，畢氏學派抹殺了真理才是“無理”。后來人們為了紀念希帕索斯的犧牲，就把這些數取名“無理數”。

總結：常見的一些無理數：

（1）含π的一些數;

（2）含開不盡方的數;

（3）有規律但不循環的小數，如4.04004000400004…

接著教師通過例題及練習加深學生對無理數的理解和辨別。

引入了無理數，數的家族更加壯大了，由此教師引出實數的概念。

（三）數系的擴充

問題5：我們將有理數和無理數統稱為實數。仿照有理數的分類，你能給實數分類嗎？

引導學生類比有理數的分類，以小組討論的形式分享自己對實數的分類的看法，體會類比的數學思想，從而得到以下兩種不同的分類方法。

在此基礎上，設計一個區分實數家族中不同類型的數的練習，加深學生對實數的理解。

最后，為了讓學生有一個更加完整的數系發展的脈絡，以一段微視頻來結束本節課。

三、結束語

本節課以無理數的發現故事為背景，讓數學史貫穿整個教學過程，從而說明了引入無理數的必要性，體現了人類文明與實際活動的聯系;學生在感受到當每一次面臨數的“不夠用”時就需要出現新的數的同時，既領略了數的擴展的基本思想，也了解了無理數的發現所經歷的坎坷，這一重大發現是人類理性思維和科學精神的偉大勝利;以數學歷史故事為主，問題驅動為輔，既順應了數學課程標準的要求，又讓學生處于感興趣的狀態，提高了學生學習的樂趣和積極性。

參考文獻

[1]汪曉勤.數學史與數學教育[J].教育研究與評論（中學教育教學），2014

[2]楊馨元.有理數與無理數概念的課程與教學研究.《陜西師范大學》，2015