多項式矩陣的特征根及行列式的求法

摘 要：本文討論了方陣A的多項式矩陣f（A）的特征根及行列式detf（A）的求法，給出了相應的公式。

關鍵詞：多項式矩陣;特征根;行列式

已知n階方陣A的特征根及特征向量，怎樣求A的多項式矩陣detf（A）的特征根及特征向量？這是高等代數專升本考試題型中的一類問題。主要考查學生對相似矩陣、特征根、特征向量等基本概念的理解，以及對三個重要特征式的靈活、變式應用能力。解決此類問題的根據如下：

假設t是A的特征根，α是A的屬于t的特征向量，則下列三個重要特征式成立：

Aα=tα，|tI-A|=0，（tI-A）X=0.

反之也然。上述第一個式子兩邊反復左乘A，并用它反復循環替代，立得：，

如果，則

，稱為A的多項式矩陣，其中：I是與A同階的單位方陣。

上式說明：就是A的多項式矩陣f（A）的特征根，A的屬于t的特征向量α也是f（A）的屬于特征根f（t）的特征向量。

進一步：如果知道n階方陣A有n個不同的特征根：那么依次代入f（t）中即得f（A）的n個不同的特征根：，從而A和f（A）都可對角化，可以快速計算出det（A）、det（A+tI）、detf（A）以及detAk、detf（A）k：

令，其中：P是滿秩可逆矩陣。則有：

，

又，

故，

，

又，故，

，

同理可得：，.

典型范例（高等代數專升本考試模擬試題）：

若A為三階矩陣，它的特征根分別為-1，2，3，，E為與A同階的單位方陣，則detB ，det（A-5E）= .

解：因為三階矩陣A有3個不同的特征根：，故A可對角化，且。而B是A的多項式矩陣，也是3階方陣，根據上述討論的結論知：B也有3個不同的特征根：

，

，

，

B也可對角化，且：

參考文獻

[1]高等代數[M]，何守元主編，現代教育出版社，2015.10.15，第一版.