回歸基礎 尋找本質

張雪敏

摘 要：本文回歸到二元一次不等式的幾何意義這個基礎知識來解決一類線性規劃問題。

關鍵詞：二元一次不等式;線性規劃;最大值;最小值

在數學的學習過程中，學生應把握數學知識的基礎和本質。“抓住本質，突出主線，讓學生的數學思維自然地流淌。”[1]以此來培養和發展學生的思維。這與數學核心素養中提出的培養“數學抽象”、“邏輯推理”也不謀而合。

一、回歸基礎，找尋二元一次不等式的幾何意義

在平面直角坐標系中，直線ax+by+c=0把整個平面直角坐標系分成了三部分。第一部分是直線上的點（x1，y1）滿足ax1+by1+c=0，而直線ax+by+c=0外的點以直線ax+by+c=0為界分成另外兩部分。其中，一側上任意一點（x2，y2）滿足不等式ax2+by2+c>0，另一側上任意一點（x3，y3）滿足不等式ax3+by3+c<0。這也是不等式的幾何意義。由此，我們得出結論：1.在直線ax+by+c=0同側的兩點（x4，y4）與（x5，y5）滿足不等式。2.在直線ax+by+c=0異側的兩點（x4，y4）與（x5，y5）滿足不等式。這個知識點看似簡單，卻可以解決一類線性規劃問題。

二、找準切入點，化平面幾何問題為線性規劃問題

線性規劃是不等式與解析幾何的結合，是數與形的結合。能夠用代數的方法來解決解析幾何問題是線性規劃的特征之一。

例1.已知點（1-，2）與（2，-3）在直線2x+3y+c=0的兩側，求c的取值范圍。

分析：由前分析所得：

，即得：。

例2.已知直線l過點P（-1，2）且與以為端點的線段相交，求直線l的斜率k的取值范圍。

分析：設直線l為：y-2=k（x+1）即kx-y+k+2=0，則此題轉化為例1類似的點A、B在直線l的兩側，即：得或。

總結：在解析幾何中涉及到點與線的位置關系的同側異側問題，可以運用簡單線性規劃中不等式的幾何意義來進行轉化。

三、合理轉化，找到問題本質

在高考題中，更多的是綜合性的題目，這就要求我們回歸基礎，找到本質，實現問題的轉化與化歸。

點與直線位置關系的同側異側問題，還會以其他形式出現。如直線l穿過可行域或不穿過可行域問題，同樣可以運用相同的方法來解決。如例3.

例3.（2018寧波高三第一學期期末試卷）關于x、y的不等式組表示的平面區域內存在點P（x0，y0）滿足x0-2y0=3，則實數m的取值范圍是（ ）

A.（-∞，-3） B.（-1，1） C.（-∞，-1） D.（-1，+∞）

分析：

很多數學問題看似平淡無奇，但若能挖掘其內涵，適當變化，常常會有意想不到的收獲。

由以上分析，可得總結：

1.直線l不穿過可行域可行域頂點在直線l同側點代入直線方程左側后所得不等號方向一致。

2.直線l穿過可行域可行域中存在其中兩個端點在直線l異側兩點代入直線方程左側后所得不等號方向相反。

四、運用不等式幾何意義去目標函數絕對值

不等式的幾何意義有時候還能起到去絕對值的作用，如例4.

例4：（2015浙江卷理第14題）若實數x、y滿足，則的最小值為

分析：此題畫可行域非常簡單，所以難點在于如何去掉目標函數中的絕對值而變為常規的線性規劃問題了。在這里不等式的幾何意義再一次大顯身手。

如圖，直線6-x-3y=0在圓x2+y2=1上方，可行域中的點（x，y）與（0，0）同側，把（0，0）代入線6-x-3y=6>0，則可得可行域中的點滿足6-x-3y>0，則可得實現了去掉絕對值的目的。由于（0，0）到直線2x+y-2=0的距離，所以直線2x+y-2=0把圓面x2+y2≤1這個可行域分成了兩部分。由得。當可行域在直線2x+y-2=0的下方的圓面時，點（x，y）與（0，0）同側，2x+y-2的符號與（0，0）代入的同號，即則可得，得所求的目標函數如圖，顯然在出取到使得相似的，當可行域在直線2x+y-2=0的上方的圓面時，點（x，y）與（0，0）異側，即2x+y-2>0，可得，得所求的目標函數顯然在出取到使得，綜上。

數學教師的任務在返璞歸真，把數學的形式化邏輯鏈條恢復成當初數學家發明創造時的火熱思考。就像張奠宙教授說：要把數學從”冰冷的美麗”升華到“火熱的思考”。【2】

參考文獻

[1]《尋找數學的內在力量》李昌官.P083寧波出版社

[2]《數學教育隨想集》張奠宙.P47華東師范大學出版社