運用調和比證明幾何問題

摘 要：調和比是射影幾何學中的射影不變量之一，一般用共線的四個點來定義。本文探討它們在初等幾何中的應用，目的在于溝通高等幾何與初等幾何的聯系，簡捷而巧妙地處理某些初等幾何題。

關鍵詞：調和比;透視中心;三點共線;重合

一、應用原理

在射影平面上，共線的四個點A、B、C、D的交比記為（AB，CD），定義為：（AB，CD）=（AC·BD）/（AD·BC）（其中AC、BD、AD、BC均為有向線段）。當（AB，CD）=-1時，稱四點A、B、C、D調和共軛，-1稱為調和比。交于一點O的四直線a、b、c、d，被一條不過O的直線L截于四點A、B、C、D，定義（ab，cd）=（AB，CD），如圖。相應地，當（ab，cd）=-1時，稱四直線a、b、c、d調和共軛。

二、應用舉例

交比、調和比可用來解決許多初等幾何問題，本文僅從兩個方面探討它在初等幾何中的應用。

1.有關平分角度命題的證明。

從交比的定義可以看出，交比與角度無直接關系，因此，在解決這類問題時，首先需要把有關角度的問題轉化成其它問題，然后證明。

例3設P為△ABC的高AD上的一點，BP、CP分別交AC、AB于E、F，則AD平分∠EDF。

證明（射影證法）：設EF與BC、AD分別交于G、H，過A作BC的平行線，分別交DE、DF、BC于E′、F′、G′∞，這樣就可以通過證明A為E′F′的中點來得到AD平分∠EDF，因為以D為透視中心，直線EF上的四點E、F、H、G，分別對應直線E′F′上的四點E′、F′、A′、G′∞，由性質2可得：（EF，HG）=（E′F′，AG′∞）。另外，在完全四點形AEPF中應用性質4得：（EF，HG）=B（EF，HG）=-1

∴（E′F′，AG′∞）=-1，

由性質3可得：A為E′F′的中點，由條件可知AD為等三角形DE′F′的高。所以AD平分∠EDF。

證明（初等證法）：建立直角坐標系XOY：以BC所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸，D為原點，記A（0，a），B（b，0），C（c，0），

P（0，p）倘若∠ACB=∠ADB=90。時，結論成立

當∠ACB≠∠ADB時，則有LCP：y=（x-c）p/（-c）LAB：y=（x-b）a/（-b）∴F（（pbc-abc）/（pb-ac），（pac-pab）/（pb-ac））

LBP：y=（x-b）p/（-b）LAC：y=（x-c）a/（-c）

得E（bc（p-a）/（pc-ab），pa（c-b）/（pc-ab））

∴KOF=pa（b-c）/bc（p-a）KOE=pa（c-b）/bc（p-a）∴KOF=-KOE

∠FDA=∠EDA即AD平分∠EDF。

2有關點線結合命題的證明。

證明“三點共線”或“三線共點”問題是初等幾何的難點之一，利用交比、調和比的性質解決這類問題往往十分簡單。在證明這類問題時，一般需要應用性質1。

例4證明三角形兩個內角平分線與對邊的交點，同其余一角的外角平分線與對邊的交點在一條直線上。

如圖，已知三角形ABC，∠B、∠C的內角平分線分別交AC、AB于E、F，∠A的外角平分線交BC

于D，欲證E、F、D共線。

證明：設BE與CF交于點O，BC與EF交于點D′，因為AO是∠A的內角平分線，由性質5，可得四直線AE、AF、AO、AD的交比A（EF，OD）=-1考察完全四點形BCEF，

由性質4得：A（EF，OD′）=-1∴A（EF，OD）=A（EF，OD′）

由性質1的對偶命題，可得AD與AD′重合，所以D與D重合，∵E、F、D′共線，∴E、F、D共線。

通過上述例子我們看到，由于初等幾何所研究的圖形僅限于直線形和圓這兩大類，因此有些問題難以推廣，某些貌似相近的問題也難以溝通，很難用初等證法解決，但用高等幾何的方法就很簡單。因此在初等幾何中一些繁雜的問題以高等幾何（通常指仿射幾何、射影幾何）的知識去觀之，就會洞察它們的去向，發現它們的聯系。

參考文獻

[1]朱德祥編.《高等幾何.》高等教育出版社，1983年.

[2]梅向明、劉增賢、林向巖編.《高等幾何》.高等教育出版社，1983年.

[3]蘇步青編.《高等幾何講義.》上海科學技術出版社，1964年.

作者簡介：林冬梅、女、1984年5月、漢族、福建安溪、本科、講師、遼寧地質工程職業學院教師、研究數學與應用數學方向;