通過一道高考題發現的規律

李躍玲

2019年全國I卷22題是選修4-4：坐標系與參數方程的題目，通過研究近幾年的高考真題，

我發現了這道題在命題上遵循一定的規律：

題目呈現：（2019年I卷22）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數）。以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為。

（1）求C和l的直角坐標方程;

（2）若C上的點到l距離的最小值。

這道題以兩問的形式命題，其中第（1）問的問法很常規，考查的和往年類似，也是考查直角坐標系與極坐標系的轉化，普通方程與參數方程的轉化。第（2）問考查的是曲線上動點到定直線的距離的最值問題，這類問題在近幾年的高考中也曾考查過，其中2014年和2017年的坐標系與參數方程題目均以此知識點為背景考查，這道題目考查的知識點盡管與往年類似，但是經過調研發現許多考生反應這道題不好做，仔細研究這道題發現它的難點在于第一問的曲線C是怎么由參數方程轉化為直角坐標方程的。一般來說參數方程向直角坐標方程轉化消參有加減消參、代入消參、平方消參三種方法，但是通過嘗試發現這三種方法均不適用于這道題，那么這里應該如何消參呢？我們再來看一下2014年和2017年的題目：

（2014年）已知曲線C：，直線l：（t為參數）.

（1）寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程;

（2）過曲線C上任一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值。

（2017年）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為（t為參數）.

（1）若a=-1，求C與l的交點坐標;

（2）若C上的點到l距離的最大值為，求a。

通過2014年、2017年和2019年的題目，我們發現這三道題的第二問的確都是以曲線上的點與直線的距離為背景進行考查的，而且2014年和2017年的曲線是同一類曲線：橢圓，那么2019年的曲線也會和之前的題目那樣是橢圓嗎？我們不妨把其參數方程向橢圓的方程轉化進行嘗試，通過對參數方程兩式平方再配上相應的系數果然能成功消參，這樣問題就迎刃而解。2019年的題目看似與往年類似，實則又另有新意，形式靈活，因此我們在研究數學問題時，一定不能只從表面看，要深入問題實質，舉一反三，更要橫向對比歸納，尋找異同點。