巧解抽象函數

符欣悅

摘 要：由于抽象函數解析式的抽象性，很強的綜合性，靈活性，使得這類問題成為函數內容的難點之一。本文通過幾個例題來探討抽象函數的解題技巧和方法。

關鍵詞：抽象函數;奇偶性;周期性

抽象函數，即沒有給出函數的解析式，只給出函數滿足的某些性質或某些運算法則的這類函數。在教學中我發現近幾年的高考題都會看到對抽象函數的考察，而學生對于解抽象函數綜合題型比較困難，所以本文特探究一下此類問題。

題型1：求函數值

例1：已知f（x）是定義在R上的偶函數，且滿足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（3）=7，求f（2013）的值

解析：由條件知f（x）≠1，故，

故函數f（x）的周期為8，f（2013）=f（5）=f（-3）=f（3）=7

題型2.求函數解析式

例2.已知f（x）是定義在R上周期為2的偶函數，當x∈[2，3]時，f（x）=x，則當x∈[-2，0]時，函數f（x）的解析式為（）

A.|x-2| B.|x+4| C.2+|x+1| D.3-|x+1|

解析：當時，

∴;

當時，

∴.故選D。

題型3.判斷函數的奇偶性

例3：已知f（x）是定義在R上的函數，且滿足f（3+x）=f（3-x），f（x+3）=。試判斷函數f（x）的奇偶性。

解析：由f（3+x）=f（3-x）知f（x）關于x=3對稱，即f（-x）=f（6+x），由f（x+3）=，可知函數f（x）的周期為6，即f（x+6）=f（x）;故f（x）=f（-x）∴f（x）是偶函數

題型4.判斷函數的單調性

例4：已知f（x）是定義在R上的偶函數，f（x）=f（4-x），且當x∈[-2，0]時，f（x）是減函數，求證當x∈[4，6]時f（x）為增函數

解析：設則

∵f（x）在[-2，0]上是減函數∴

又函數f（x）是定義在R上的偶函數，f（x）=f（4-x），可知函數f（x）的周期為4

∴∵f（-x）=f（x）∴

故當x∈[4，6]時f（x）為增函數

題型5;確定方程根的個數

例5：奇函數f（x）定義在R上，且對常數T>0，恒有f（x+T）=f（x），則在區間[0，2T]上，方程f（x）=0根的個數最小值為（）

A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

解析：∵f（0）=0故其中一個解為x1=0，又f（2T）=f（T）=f（0）=0

∴可得另兩解為x2=2T，x3=T.

又因為令x=0得

，∴=f（0）=0

∴可得另兩解為，既至少有5個解，本題選C。

解抽象函數問題應抓住函數滿足的某些性質，通過對題目的特征進行觀察、分析、類比和聯想，尋找具體的函數模型，再由具體函數模型的圖象和性質來指導我們解決抽象函數問題，這樣就能突破“抽象”帶來的困難，做到胸有成竹，使得問題迎刃而解。

參考文獻

[1]劉邦，抽象函數解救方法[J];宿州教育學院學報;2006年01期

[2]秦曄，抽象函數問題的常用解題方法[J];科技信息;2010年21期