殊途同歸 繁簡(jiǎn)有別

摘 要：2017版的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)復(fù)數(shù)版塊做了一些調(diào)整，增加了復(fù)數(shù)的三角表示. 全國(guó)卷Ⅱ（理科）第15題考查的是復(fù)數(shù)知識(shí)，而其他幾套全國(guó)高考卷，都是和往年一樣，在第一題或第二題考查復(fù)數(shù)，這不得不說(shuō)是一大改變和創(chuàng)新. 于是通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)利用向量法、幾何法、三角表示法、傳統(tǒng)法等五種方法可以解決第15題，雖然方法繁簡(jiǎn)有別，但是不同的方法體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思想.

關(guān)鍵詞：高考;復(fù)數(shù);向量;三角;幾何

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0034-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡(jiǎn)介：盧會(huì)玉（1981-），女，甘肅省天水人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教育研究.

今年的高考全國(guó)卷整體來(lái)說(shuō)還是一如既往的延續(xù)了平穩(wěn)中創(chuàng)新的風(fēng)格. 有老師和學(xué)生說(shuō)題目難的主要原因是創(chuàng)新題目較多，思考反射弧較長(zhǎng)導(dǎo)致的. 筆者注意到全國(guó)卷Ⅱ（理科）第15題考查的是復(fù)數(shù)知識(shí)，這相對(duì)其他幾套高考卷對(duì)復(fù)數(shù)的考查，不得不說(shuō)是一大改變和創(chuàng)新，是在打破一類問(wèn)題程序化的解答模式，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)遷移的思想. 下面就是筆者對(duì)該題的幾種解答.

全國(guó)卷Ⅱ（理科）第15題：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=

|z2|=2，z1+z2=3+i，則|z1-z2|=.

解法一 設(shè)向量a對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，向量b對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則

由|z1|=|z2|=2，可得|a|=|b|=2，由z1+z2=3+i，可得a+b=（3，1），則|a+b|=2.

所以a2+2a·b+b2=4，即a·b=-2，

則|a-b|=a2-2a·b+b2=23，即|z1-z2|

=23.

評(píng)析 本解法是利用復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題解決，過(guò)程非常簡(jiǎn)潔，但是對(duì)思維要求較高. 學(xué)生一旦能順利地將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，那么問(wèn)題就迎刃而解.

解法二 設(shè)z=z1+z2=3+i，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M（3，1），且|z|=2，設(shè)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B，又|z1|=|z2|=2，則點(diǎn)A，B，M在圓x2+y2=4上，且由z=z1+z2可知OAMB為菱形，則z1-z2為菱形的另一條對(duì)角線BA，在△OAB中，可求得|z1-z2|=23.

評(píng)析 本解法是利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解，對(duì)思維要求較高，要求學(xué)生能利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)相等以及平行四邊形法則，發(fā)現(xiàn)所求|z1-z2|即是菱形的另外一條對(duì)角線，從而轉(zhuǎn)化為等腰三角形邊長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題.

解法三 由|z1|=|z2|=2可設(shè)z1=2（cosα+isinα），z2=2（cosβ+isinβ），

則z1+z2=2（cosα+cosβ）+2（sinα+sinβ）i=3+i，所以cosα+cosβ=32，sinα+sinβ=12.將兩式平方相加可得：cosαcosβ+sinαsinβ=-12，則cos（α-β）=-12.

又z1-z2=2（cosα-cosβ）+2（sinα-sinβ）i，

所以|z1-z2|=2（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=22-2cos（α-β）=23.

評(píng)析 本解法是利用復(fù)數(shù)的三角形式解決問(wèn)題，考查了兩角差的余弦公式，突出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體性的考查，對(duì)思維的要求較高.

解法四 設(shè)z1=a+bi，z2=m+ni，則|z1|=a2+b2=2，|z2|=m2+n2=2，即a2+b2=4，m2+n2=4.又z1+z2=（a+m）+（b+n）i=3+i，所以a+m=3，b+n=1.將兩式平方相加可得：a2+b2+m2+n2+2am+2bn=4，則am+bn=-2.

又z1-z2=（a-m）+（b-n）i，

所以|z1-z2|=（a-m）2+（b-n）2=a2+b2+m2+n2-2（am+bn）=23.

評(píng)析 本解法是利用傳統(tǒng)的設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解決問(wèn)題，對(duì)思維的要求較低，過(guò)程中注意運(yùn)算技巧即可，運(yùn)算量較大.

解法五 設(shè)z1=a+bi，則z2=（3-a）+（1-b）i，故|z1|=a2+b2=2，|z2|=（3-a）2+（1-b）2=2，

即a2+b2=4，a2+b2-23a-2b=0，則a2+b2=4，3a+b=2.

又z1-z2=（2a-3）+（2b-1）i，

所以|z1-z2|=（2a-3）2+（2b-1）2

=4a2+4b2-43a-4b+4

=4（a2+b2）-4（3a+b）+4=23.

評(píng)析 本解法也是利用傳統(tǒng)設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解決問(wèn)題，只是引入的變量減少了，其余要求和解法四相同.

2017版的課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)復(fù)數(shù)版塊做了一些調(diào)整，增加了復(fù)數(shù)的三角表示，上述解法中可以看到如果用三角表示法求解，無(wú)疑是一種不錯(cuò)的方法. 課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線，在必修課程與選擇性必修課程中，要突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過(guò)形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解. 這是幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的重要途徑，也是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的最有效的方法.

在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)注重對(duì)復(fù)數(shù)的表示及幾何意義的理解，避免繁瑣的計(jì)算與技巧訓(xùn)練. 復(fù)數(shù)作為一類重要的運(yùn)算對(duì)象，通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過(guò)方程求解，理解引入復(fù)數(shù)的必要性.

? 參考文獻(xiàn)：

[1]2020年全國(guó)Ⅱ卷高考數(shù)學(xué)試題.

[責(zé)任編輯：李 璟]