一道圓錐曲線綜合題的多種精妙解法

高群安 鄭晴

摘 要：本題是圓錐曲線綜合題，主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，觀察發(fā)現(xiàn)能力，難度大.如果處理不當(dāng)，會(huì)陷入繁雜運(yùn)算的泥潭.本文根據(jù)橢圓、拋物線的特點(diǎn)，充分運(yùn)用“秘密武器”：橢圓中點(diǎn)弦的性質(zhì);拋物線內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，使得各種解法精妙獨(dú)特，簡(jiǎn)潔明快，令人感嘆不已！這是一道難得的好題，它為學(xué)生展示才華提供了廣闊的空間！

關(guān)鍵詞：橢圓的中點(diǎn)-斜率公式;拋物線內(nèi)接多邊形的性質(zhì);拋物線的參數(shù)方程;不等式求最值

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0025-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡(jiǎn)介：高群安（1963-），男，湖北省襄陽(yáng)人，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

題目 （2020高考浙江卷，21題）如圖1，已知橢圓C1：x22+y2=1，拋物線C2：y2=2px（p>0），點(diǎn)A是橢圓C1與拋物線C2的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓C1于點(diǎn)B，交拋物線C2于M（B，M不同于A）.圖1

（1）若p=116，求拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo);

（2）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值.

分析 （1）易于解決;（2）圖中A，M是兩個(gè)特殊的點(diǎn)，A是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A，M的坐標(biāo)時(shí)，可考慮利用拋物線的參數(shù)方程，用點(diǎn)A，M的坐標(biāo)表示B點(diǎn)的坐標(biāo)，A，B兩點(diǎn)都在橢圓上，利用方程和不等式向目標(biāo)靠近而求解;由于M（x0，y0）是AB的中點(diǎn)，可以考慮運(yùn)用橢圓中的秘密武器：“中點(diǎn)-斜率”關(guān)系式：x02+y0kAB=0及kABkOM=-12以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程;注意到△OAM是拋物線的內(nèi)接三角形，如果再運(yùn)用秘密武器：1kOA+1kOM=1kMA，則求解過程更加簡(jiǎn)潔.

（1）解 當(dāng)p=116

時(shí)，C2的方程為y2=18x，故拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（132，0）.

（2）解法一 由對(duì)稱性不妨設(shè)直線l：x=ky+b（k，b>0），A（m，n），由x=ky+b，x2+2y2=2

（k2+2）y2+2kby+b2-2=0yM=-kbk2+2①.

由x=ky+b，y2=2pxy2-2pky-2pb=0nyM=-2pb②.

由①②得n=2p（k+2k），m=n22p=2p（k+2k）2.

令t=k+2k≥22，

把A（2pt2，2pt）代入x2+2y2=2得

4p2（t4+t2）=21=2p2（t4+t2）≥2p2（64+16）

p≤1040.

當(dāng)k=2，b=105時(shí)，

p取到最大值為1040.

點(diǎn)評(píng) 本解答的關(guān)鍵是利用與AB斜率有關(guān)的k表示A點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用不等式求出p的最大值.

解法二 設(shè)A（2pa2，2pa），M（2pm2，2pm）（a>0，m<0）得B（4pm2-2pa2，4pm-2pa）.因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在橢圓上，所以

4p2（a4+2a2）=2，4p2[（2m2-a2）2+2（2m-a）2]=2

（m2+ma+2）（m2-ma）=0，

∵m2-ma>0，所以m2+ma+2=0

-ma=m2+2≥22|m|=-22m，

∴a≥22.

把A（2pa2，2pa）代入C1得

1=2p2（a4+2a2）≥2p2（64+16）

p2≤1160，p≤1040.

當(dāng)a=22，m=-2時(shí)，p取到最大值為1040.

點(diǎn)評(píng) 本解答利用拋物線的參數(shù)方程、線段中點(diǎn)的性質(zhì)，用點(diǎn)A，M的坐標(biāo)表示B點(diǎn)的坐標(biāo)，注意到A，B兩點(diǎn)都在橢圓上，利用方程導(dǎo)出a，m的關(guān)系：m2+ma+2=0，再利用不等式求出a的取值范圍：a≥22.至此解決目標(biāo)函數(shù)的最值問題就水到渠成了. 利用方程導(dǎo)出a，m的關(guān)系、再利用不等式求出a的范圍是本解答的精妙之筆！

解法三 （運(yùn)用秘密武器）：設(shè)A（2pa2，2pa），M（2pm2，2pm）（a>0，m<0），因?yàn)閗AB=1m+a，∴2pm2+2·2pm·1m+a=0m2+am+2=0-am=m2+2≥

-22m，∴a≥22.

把A（2pa2，2pa）代入x2+2y2=2得1=2p2（a4+2a2）≥2p2（64+16）p2≤1160，p≤1040.當(dāng)a=22，m=-2時(shí)，p取到最大值為1040.

點(diǎn)評(píng) 本解答的關(guān)鍵是利用拋物線的參數(shù)方程求出AB的斜率k，再利用橢圓x2+2y2=2的秘密武器：中點(diǎn)M（x0，y0）斜率（k）公式：x0+2y0k=0導(dǎo)出a，m的關(guān)系式：m2+am+2=0，過程更加簡(jiǎn)潔！

解法四 設(shè)直線AB：y=kx+b（k>0，b<0），直線OA，OM的斜率分別是a，m（a>0，m<0），由橢圓的“中點(diǎn)-斜率公式”得mk=-12.設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則由

y2=2px，y=kx+bby2=2px（y-kx）b（yx）2-2p（yx）+2pk=0a+mam=2p2pk1a=1k+1-m≥21k·1-m=22a≤122，

當(dāng)k=-m=12時(shí)，“=”號(hào)成立.

設(shè)A（2pt2，2pt），則a=yx=1t≤122t≥22.

把A（2pt2，2pt）代入1=x22+y2得1=2p2（t4+2t2）≥2p2（64+16）p2≤1160，p≤1040，即p的最大值為1040.

點(diǎn)評(píng) 本解答的關(guān)鍵是由y2=2px，y=kx+bb（yx）2-2p（yx）+2pk=0構(gòu)造出了一個(gè)以直線OA，OM的斜率a，m為根的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得1a=1k+1-m，再利用不等式求出a的范圍.

解法五 （運(yùn)用秘密武器）：設(shè)A（2pt2，2pt），OA，OM，MA的斜率分別是a，m，k（a>0，k>0，m<0），則有mk=-12，1a+1m=1k1a=1k-1m≥21k（-1m）=22，

即t≥22.

把A（2pt2，2pt）代入1=x22+y2得

1=2p2（t4+2t2）≥2p2（64+16）

p2≤1160，p≤1040.

當(dāng)k=-m=12時(shí)，p取得最大值1040.

點(diǎn)評(píng) 本解答運(yùn)用了橢圓的“中點(diǎn)-斜率公式”和“拋物線內(nèi)接多邊形的性質(zhì)”，運(yùn)用秘密武器使得過程更加簡(jiǎn)潔.

本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，難度大.如果處理不當(dāng)，會(huì)陷入繁雜運(yùn)算的泥潭.

上述各種解法精妙獨(dú)特，簡(jiǎn)潔明快，令人拍案叫絕，感嘆不已！這是一道難得的好題，它考查的思想方法如此之多，為學(xué)生展示才華提供了廣闊的空間！

? 參考文獻(xiàn)：

[1]高群安.拋物線內(nèi)接多邊形的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（06）：43-44.

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