截口橢圓離心率問題的探究

摘 要：“圓錐曲線與方程”是在圓與立體幾何之后學習，教材中簡明扼要地介紹了圓錐曲線的由來.圓錐曲線的離心率問題一直是高考中的熱點，而求橢圓的離心率又是最常考的內容，本文就一道求平面截圓錐形成的橢圓的離心率進行探究，以期找到求圓錐曲線離心率的一般規律.

關鍵詞：橢圓;離心率;圓錐截面

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0068-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：康琳（1979.10-），女，四川省南充人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

題目 設圓錐的軸截面是一個正三角形，用一個與圓錐底面成30°夾角的平面去截圓錐，所得截口曲線是橢圓，則該橢圓的離心率為.

思路1 確定橢圓上特殊點的坐標

如圖1，不妨令正△ABC邊長43，重心G，橢圓中心N，中線BD，底面圓心M.PG與長軸垂直. BG=4，GD=2，則NG=1.PG為過G與底面平行的圓的半徑.如圖2在△AMC，作GE∥MC，由相似易得GE=433，所以PG=433.如圖3，即P（1，433），代入方程x2a2+y2b2=1，又2a=6，解得b2=6，e=33.

思路2 橢圓短軸所在的圓截面上利用勾股定理計算短半軸長

如圖4，不妨令正△ABC邊長43，重心G，底面圓心M.橢圓中心N，過N作底面的平行平面，得⊙O.橢圓N與⊙O交線PQ即為短軸長2b.如圖5，在圓錐的軸截面正△ABC中，易得NG=1.Rt△NGO中，GO=12，作OF∥MC，由相似易得OF=PO=332.如圖6，在⊙O的Rt△PON中，由勾股定理易得PN=b=6，e=33.

思路3 構造三角形，利用相似計算短半軸長如圖7，不妨令正△ABC邊長43，橢圓中心N，底面圓心M，NE為橢圓的短半軸，連接AN并延長交BC于點P，連接AE并延長交底面于點F.如圖8，在圓錐的軸截面正△ABC中，NO⊥AM，由△APM～△ANO，

AN∶AP=AO∶AM=3∶4，PM=233.由底面半徑23易得PF=463，故NE=b=6，e=33.

思路4 構造直角三角形，利用勾股定理計算短半軸長.?

如圖9，不妨令正△ABC邊長43，重心G，底面圓心M.橢圓中心N，過N作底面的平行平面，得⊙O.橢圓N與⊙O交線PQ即為短軸長2b.同思路2得AO=332，NO=32.在Rt△AON中，由勾股定理易得AN=21，在Rt△AOP中，⊙O的半徑OP=332，由勾股定理易得AP=1082.又因為Rt△APQ是等腰三角形，所以在Rt△ANP中， PN=b=6，e=33.

思路5 利用Dandelin球與截面、側面相切，切點為焦點

如圖10，圓錐上部球O1與橢圓截面、圓錐側面相切，如圖11，軸截面△ABD的內切圓O1，與三邊的切點分別為M，N，F，其中F是橢圓的右焦點. 不妨令正△ABC邊長43，則AB=43，AD=23，BD=BF+DF=6=2a，又BF-DF=BN-DM=AB-AD=23=2c，所以e=33.

點評 以上五種思路都充分利用了特殊的幾何關系，特別是條件里的正三角形使計算比較容易，如果將題目中軸截面改為等腰三角形（非正三角形），夾角非特殊角度時，幾何關系的不明確將增加運算難度，甚至運算難以進行，于是產生了對這道題的進一步探究.

結論 平面截圓錐所得截口曲線——橢圓的離心率e=cosαcosβ，其中截面與底面夾角的余角為α，圓錐母線與軸夾角為β，如圖12.

證明 如圖13，A1A2為橢圓的長軸，圓錐上部球O1與橢圓截面、圓錐側面相切，軸截面的內切圓O1，半徑為r，與A1A2切點為橢圓的右焦點F.設∠O1A1F=θ，∠O1A2F=φ，易得θ=α-β2①，φ=π-（α+β）2②.A1F=a+c=rtanθ ③，A2F=a-c=rtanφ④.由③÷④得，a+ca-c=tanφtanθ=1+e1-e，解得e=tanφ-tanθtanφ+tanθ=sin（φ-θ）sin（φ+θ），

聯立方程①②，解得φ+θ=π2-β，φ-θ=π2-α，所以e=sin（π2-α）sin（π2-β）=cosαcosβ.

思路6 e=cosαcosβ=cosπ3cosπ6=33.

點評用此公式求截口曲線——橢圓的離心率不僅快捷，而且更具有普適性.

推廣 平面截圓錐形成的三種截口圓錐曲線均可以利用公式e=cosαcosβ求離心率.

若α>β，cosα<cosβ，e=cosαcosβ∈（0，1），則截口曲線為橢圓.

若α<β，cosα>cosβ，e=cosαcosβ∈（1，+∞），則截口曲線為雙曲線.

若α=β，cosα=cosβ，e=cosαcosβ=1，則截口曲線為拋物線.

小結 本文的題目以“截面橢圓”為載體，既考查了學生直觀想象的核心素養，也考查了數學抽象的核心素養，在這個過程中，還需要學生具備較強的邏輯推理能力和數學運算的能力;就這個題目而言，以上多種思路需要用到數形結合的思想，化歸及轉化的思想.同時也揭示了平面解析幾何的本質思想—幾何問題代數化.這強調了知識的交叉，滲透和綜合，因此，這個題目的綜合性較強，是立體幾何與平面解析幾何綜合考查的典范，極具探究意義.

? 參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]